РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 1018 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 13.3. Монотонность и экстремумы функции

Задания на 9 баллов

Найдите точки экстремума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 4 минус x в квадрате , знаменатель: x плюс 3 конец дроби .$

Решение. Данная функция определена при $x не равно минус 3.$ Возьмем производную этой функции:

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 4 минус x в квадрате , знаменатель: x плюс 3 конец дроби правая круглая скобка '= дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка ' левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка ' левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус 2x левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус 2x в квадрате минус 6x минус 4 плюс x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: минус x в квадрате минус 6x минус 4, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$ $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 4 минус x в квадрате , знаменатель: x плюс 3 конец дроби правая круглая скобка '=$
$= дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка ' левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка ' левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус 2x левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус 2x в квадрате минус 6x минус 4 плюс x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: минус x в квадрате минус 6x минус 4, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$ $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 4 минус x в квадрате , знаменатель: x плюс 3 конец дроби правая круглая скобка '=$
$= дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка ' левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка ' левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус 2x левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус 2x в квадрате минус 6x минус 4 плюс x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате минус 6x минус 4, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$

При $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ получим:

$x в квадрате плюс 6x плюс 4=0 равносильно совокупность выражений x= минус 3 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,x= минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента . конец совокупности .$

Рассмотрев знаки производной и характер монотонности функции (см. рис.), увидим, что функция имеет два экстремума: минимум в точке $x= минус 3 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента$ и максимум в точке $x= минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Ответ: $x_\min = минус 3 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ;$ $x_\max = минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

1018

$x_\min = минус 3 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ;$ $x_\max = минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Классификатор алгебры: 13.3. Монотонность и экстремумы функции

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1018	$x_\min = минус 3 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ;$ $x_\max = минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$