РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 1197 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 13.4. Наибольшее и наименьшее значение функции, 15.8. Применение производной к исследованию функции

Задания на 8 баллов

Найдите наименьшее значение функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = x в квадрате минус 4 корень из x минус 5$ на отрезке $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ; 9 правая квадратная скобка .$

Решение. Функция f(x) определена на промежутке $левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Найдем ее производную:

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x в квадрате минус 4 корень из x минус 5 правая круглая скобка ' = 2x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из x конец дроби .$

Найдем нули производной:

$2x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из x конец дроби = 0 равносильно дробь: числитель: x корень из x минус 1, знаменатель: корень из x конец дроби = 0 равносильно x корень из x = 1 равносильно x = 1.$ $2x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из x конец дроби = 0 равносильно дробь: числитель: x корень из x минус 1, знаменатель: корень из x конец дроби = 0 равносильно$
$равносильно x корень из x = 1 равносильно x = 1.$ $2x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из x конец дроби = 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x корень из x минус 1, знаменатель: корень из x конец дроби = 0 равносильно$
$равносильно x корень из x = 1 равносильно x = 1.$

Точка x  =  1 является точкой экстремума. Найдем значение функции в крайних точках отрезка $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ; 9 правая квадратная скобка$ и точке экстремума:

$f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби минус 4 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 5 = минус целая часть: 6, дробная часть: числитель: 26, знаменатель: 81 ;$

$f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = 1 минус 4 минус 5 = минус 8;$

$f левая круглая скобка 9 правая круглая скобка = 81 минус 4 умножить на 3 минус 5 = 64.$

Наименьшее значение функция f(x) принимает в точке x  =  1, оно равно −8.

Ответ: −8.

1197

−8.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1197	−8.