РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 1228 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 14.4. Точки на графиках, пересечение, взаимное расположение графиков, 15.8. Применение производной к исследованию функции

Задания на 9 баллов

Найдите наименьший из возможных углов, образованных с положительным направлением оси абсцисс касательной к графику функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе минус 2 x в квадрате плюс 2 x плюс 1.$

Решение. Найдем производную функции:

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе минус 2 x в квадрате плюс 2 x плюс 1 правая круглая скобка ' = 4x в квадрате минус 4x плюс 2.$ $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе минус 2 x в квадрате плюс 2 x плюс 1 правая круглая скобка ' =$
$= 4x в квадрате минус 4x плюс 2.$ $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе минус 2 x в квадрате плюс 2 x плюс 1 правая круглая скобка ' =$
$= 4x в квадрате минус 4x плюс 2.$

Так как старший коэффициент квадратного трехчлена положителен, наименьшее значение он принимает в точке вершины параболы $4x в квадрате минус 4x плюс 2.$ Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_в = дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 умножить на 4 конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 32 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Таким образом, квадратный трехчлен $4x в квадрате минус 4x плюс 2$ принимает наименьшее значение при $x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Найдем тангенс наименьшего угла, образованного с положительным направлением оси абсцисс касательной к графику функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе минус 2 x в квадрате плюс 2 x плюс 1:$

$f' левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = 4 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 = 1.$

Так как $тангенс альфа = 1,$ $альфа = 45 градусов .$

Ответ: 45°.

1228

45°.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1228	45°.