РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 1316 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.3. Правильная четырёхугольная пирамида, 4.2. Объем многогранника

Методы алгебры: Теорема Пифагора, Теорема о трёх перпендикулярах

Задания на 7 баллов

Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а двугранный угол при ребре основания равен 60°. Найдите объем пирамиды.

Решение. В основании пирамиды лежит квадрат ABCD. Апофема пирамиды SK перпендикулярна прямой DC, тогда по теореме о трех перпендикулярах прямые OK и DC перпендикулярны. Угол SKO является линейным углом двугранного угла при ребре основания пирамиды, его градусная мера равна 60°. Тогда в прямоугольном треугольнике SOK угол OSK равен 30°, длина катета OK, лежащего напротив угла OSK, равна половине длины гипотенузы SK, то есть 6 см. Применим теорему Пифагора в этом треугольнике:

$SO в квадрате плюс OK в квадрате = SK в квадрате равносильно SO в квадрате плюс 6 в квадрате = 12 в квадрате равносильно$
$равносильно SO в квадрате = 108 равносильно SO = корень из: начало аргумента: 108 конец аргумента равносильно SO = 6 корень из 3 см.$ $SO в квадрате плюс OK в квадрате = SK в квадрате равносильно$
$равносильно SO в квадрате плюс 6 в квадрате = 12 в квадрате равносильно SO в квадрате = 108 равносильно$
$равносильно SO = корень из: начало аргумента: 108 конец аргумента равносильно SO = 6 корень из 3 см.$ $SO в квадрате плюс OK в квадрате = SK в квадрате равносильно$
$равносильно SO в квадрате плюс 6 в квадрате = 12 в квадрате равносильно$
$равносильно SO в квадрате = 108 равносильно SO = корень из: начало аргумента: 108 конец аргумента равносильно$
$равносильно SO = 6 корень из 3 см.$ $SO в квадрате плюс OK в квадрате = SK в квадрате равносильно$
$равносильно SO в квадрате плюс 6 в квадрате = 12 в квадрате равносильно$
$равносильно SO в квадрате = 108 равносильно$
$равносильно SO = корень из: начало аргумента: 108 конец аргумента равносильно$
$равносильно SO = 6 корень из 3 см.$

Боковые ребра правильной пирамиды равны, отсюда треугольник DSC  — равнобедренный. Отрезок SK является высотой и медианой, тогда длины отрезков DK и KC равны. Отрезок OK  — средняя линия треугольника ACD, его длина равна половине длины стороны основания пирамиды, отсюда длина стороны основания пирамиды равна 12 см.

Найдем объем пирамиды:

$V = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_осн умножить на h = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 12 в квадрате умножить на 6 корень из 3 = 288 корень из 3 см в кубе .$ $V = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_осн умножить на h =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 12 в квадрате умножить на 6 корень из 3 = 288 корень из 3 см в кубе .$

Ответ: $288 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см в кубе .$

1316

$288 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см в кубе .$

Классификатор алгебры: 3.3. Правильная четырёхугольная пирамида, 4.2. Объем многогранника

Методы алгебры: Теорема Пифагора, Теорема о трёх перпендикулярах

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1316	$288 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см в кубе .$