РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 1388 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 14.3. График уравнения, неравенства, системы, 14.6. Построение графика функции при помощи производной, 15.8. Применение производной к исследованию функции

Задания на 9 баллов

Исследуйте функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 3x в квадрате плюс 2$ и постройте ее график.

Решение. Область определения функции задается множеством $R .$ Проведем исследование функции на четность, проверим равенство f(−x)  =  f(x):

$f левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус x правая круглая скобка в кубе минус 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка в квадрате плюс 2 = минус x в кубе минус 3x в квадрате плюс 2,$ $f левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус x правая круглая скобка в кубе минус 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка в квадрате плюс 2 =$
$= минус x в кубе минус 3x в квадрате плюс 2,$

тогда f(−x)  ≠  f(x) и f(−x)  ≠  −f(x), функция не является четной или нечетной. Найдем нули функции:

$x в кубе минус 3x в квадрате плюс 2 = 0 равносильно левая круглая скобка x в кубе минус x в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2x в квадрате минус 2 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x минус 1 = 0,x в квадрате минус 2x минус 2 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 1,x = 1 минус корень из 3 , x = 1 плюс корень из 3 . конец совокупности .$ $x в кубе минус 3x в квадрате плюс 2 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в кубе минус x в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2x в квадрате минус 2 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x минус 1 = 0,x в квадрате минус 2x минус 2 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 1,x = 1 минус корень из 3 , x = 1 плюс корень из 3 . конец совокупности .$ $x в кубе минус 3x в квадрате плюс 2 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в кубе минус x в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2x в квадрате минус 2 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x минус 1 = 0,x в квадрате минус 2x минус 2 = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = 1,x = 1 минус корень из 3 , x = 1 плюс корень из 3 . конец совокупности .$

Найдем точку пересечения графика функции f(x) с осью Oy, найдем значение функции f(0):

$f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = 0 в кубе минус 3 умножить на 0 в квадрате плюс 2 = 2.$

Найдем точки экстремумов, экстремумы и промежутки монотонности функции. Возьмем производную:

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = 3x в квадрате минус 6x.$

Найдем нули производной:

$3x в квадрате минус 6x = 0 равносильно 3x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x = 0,x = 2. конец совокупности .$

Определим промежутки убывания и возрастания функции:

Тогда: $x_max = 0,$ $f_max = f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = левая круглая скобка 0 правая круглая скобка в кубе минус 3 умножить на левая круглая скобка 0 правая круглая скобка в квадрате плюс 2 = 2,$ $x_min = 2,$ $f_min = f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 2 в кубе плюс 3 умножить на 2 в квадрате плюс 2 = минус 2.$ Построим график функции:

Ключ