РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 146 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 1.2. Перпендикулярность в пространстве, 2.6. Расстояние от точки до прямой

Методы алгебры: Теорема Пифагора, Теорема о трёх перпендикулярах

Задания на 6 баллов

В прямоугольном треугольнике ABC катет AB =3 см, $тангенс \angle A= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$ Из вершины B к плоскости этого треугольника проведен перпендикуляр BM. Найдите расстояние от точки M до гипотенузы AC, если BM =1см.

Решение. Проведем BH  — перпендикуляр к AC. Также, BM  — перпендикуляр к плоскости треугольника ABC из условия. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах MH  — ортогональ к плоскости ABC. Следовательно, это и есть искомое расстояние.

Рассмотрим треугольник ABC. В нём $тангенс \angle A= дробь: числитель: BC, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$ Так как $AB=3см,$ то $BC=4см,$ откуда по теореме Пифагора $AC=5см.$ Тогда:

$BH= дробь: числитель: AB умножить на BC, знаменатель: AC конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на 4, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби см.$

По теореме Пифагора в треугольнике $MBHMH в квадрате =BH в квадрате плюс BM в квадрате ,$ откуда:

$MH в квадрате =1 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 25, знаменатель: 25 конец дроби плюс дробь: числитель: 144, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 169, знаменатель: 25 конец дроби см в квадрате .$ $MH в квадрате =1 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =$
$= дробь: числитель: 25, знаменатель: 25 конец дроби плюс дробь: числитель: 144, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 169, знаменатель: 25 конец дроби см в квадрате .$

Следовательно, $MH= дробь: числитель: 13, знаменатель: 5 конец дроби см=2,6см.$

Ответ: $2,6см.$

146

$2,6см.$

Классификатор алгебры: 1.2. Перпендикулярность в пространстве, 2.6. Расстояние от точки до прямой

Методы алгебры: Теорема Пифагора, Теорема о трёх перпендикулярах

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	146	$2,6см.$