РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 168 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.1. Уравнения первой и второй степени относительно логарифмических функций

Задания на 8 баллов

Решите уравнение: $\lg левая круглая скобка 10x в квадрате правая круглая скобка умножить на десятичный логарифм x=1.$

Решение. Используя свойства логарифмов $логарифм по основанию a bc= логарифм по основанию a b плюс логарифм по основанию a c$ и $логарифм по основанию a b в степени левая круглая скобка 2c правая круглая скобка =2c умножить на логарифм по основанию a |b|,$ получаем

$\lg левая круглая скобка 10x в квадрате правая круглая скобка умножить на \lgx=1 равносильно левая круглая скобка \lg10 плюс \lgx в квадрате правая круглая скобка \lgx=1 равносильно$
$равносильно \lg в квадрате x в квадрате плюс \lgx минус 1=0 \undersetx больше 0\mathop равносильно 2\lg в квадрате x плюс \lgx минус 1=0.$ $\lg левая круглая скобка 10x в квадрате правая круглая скобка умножить на \lgx=1 равносильно левая круглая скобка \lg10 плюс \lgx в квадрате правая круглая скобка \lgx=1 равносильно$
$равносильно \lg в квадрате x в квадрате плюс \lgx минус 1=0 \undersetx больше 0\mathop равносильно$
$\undersetx больше 0\mathop равносильно 2\lg в квадрате x плюс \lgx минус 1=0.$ $\lg левая круглая скобка 10x в квадрате правая круглая скобка умножить на \lgx=1 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка \lg10 плюс \lgx в квадрате правая круглая скобка \lgx=1 равносильно$
$равносильно \lg в квадрате x в квадрате плюс \lgx минус 1=0 \undersetx больше 0\mathop равносильно$
$\undersetx больше 0\mathop равносильно 2\lg в квадрате x плюс \lgx минус 1=0.$

Полученное уравнение является квадратным относительно логарифма. Заметим, что разность коэффициентов равна 0, а значит, один из корней равен −1, а другой, по теореме, обратной теореме Виета, равен отношению −c к a, в нашем случае  — $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Тогда

$совокупность выражений \lgx= минус 1,\lgx= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений \lgx=\lg дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби ,\lgx=\lg корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби ,x= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента . конец совокупности .$ $совокупность выражений \lgx= минус 1,\lgx= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений \lgx=\lg дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби ,\lgx=\lg корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби ,x= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента . конец совокупности .$ $совокупность выражений \lgx= минус 1,\lgx= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений \lgx=\lg дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби ,\lgx=\lg корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби ,x= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента . конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби ; корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая фигурная скобка .$

168

$левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби ; корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 5.1. Уравнения первой и второй степени относительно логарифмических функций

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	168	$левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби ; корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая фигурная скобка .$