РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 210 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.2. Правильная треугольная пирамида, 4.2. Объем многогранника

Задания на 10 баллов

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, объем которой равен $альфа ,$ если боковое ребро пирамиды равно стороне основания.

Решение. У данной пирамиды все ребра равны. Пусть ребро пирамиды равно $xсм.$ Точка падения высоты совпадает с центром описанной вокруг основания окружности, $R= дробь: числитель: x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$ Из прямоугольного треугольника AOP находим:

$AP в квадрате =PO в квадрате плюс AO в квадрате равносильно PO в квадрате =AP в квадрате минус AO в квадрате равносильно$
$равносильно PO в квадрате =x в квадрате минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби равносильно PO в квадрате = дробь: числитель: 2x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби равносильно x в квадрате = дробь: числитель: 3H в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .$ $AP в квадрате =PO в квадрате плюс AO в квадрате равносильно PO в квадрате =AP в квадрате минус AO в квадрате равносильно$
$равносильно PO в квадрате =x в квадрате минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно PO в квадрате = дробь: числитель: 2x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби равносильно x в квадрате = дробь: числитель: 3H в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .$ $AP в квадрате =PO в квадрате плюс AO в квадрате равносильно$
$равносильно PO в квадрате =AP в квадрате минус AO в квадрате равносильно$
$равносильно PO в квадрате =x в квадрате минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно PO в квадрате = дробь: числитель: 2x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби равносильно x в квадрате = дробь: числитель: 3H в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .$

Из формулы объема пирамиды имеем:

$V=H дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_о_с_н равносильно H= дробь: числитель: 3V, знаменатель: S_о_с_н конец дроби равносильно H= дробь: числитель: 3 альфа , знаменатель: дробь: числитель: x в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец дроби равносильно$
$равносильно H= дробь: числитель: 3 альфа , знаменатель: дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента H в квадрате , знаменатель: 8 конец дроби конец дроби равносильно H в кубе = дробь: числитель: 8 альфа , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби равносильно H=2 корень 3 степени из: начало аргумента: дробь: числитель: альфа , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби конец аргумента .$ $V=H дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_о_с_н равносильно H= дробь: числитель: 3V, знаменатель: S_о_с_н конец дроби равносильно$
$равносильно H= дробь: числитель: 3 альфа , знаменатель: дробь: числитель: x в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец дроби равносильно H= дробь: числитель: 3 альфа , знаменатель: дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента H в квадрате , знаменатель: 8 конец дроби конец дроби равносильно$
$равносильно H в кубе = дробь: числитель: 8 альфа , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби равносильно H=2 корень 3 степени из: начало аргумента: дробь: числитель: альфа , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби конец аргумента .$ $V=H дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_о_с_н равносильно H= дробь: числитель: 3V, знаменатель: S_о_с_н конец дроби равносильно$
$равносильно H= дробь: числитель: 3 альфа , знаменатель: дробь: числитель: x в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец дроби равносильно$
$равносильно H= дробь: числитель: 3 альфа , знаменатель: дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента H в квадрате , знаменатель: 8 конец дроби конец дроби равносильно$
$равносильно H в кубе = дробь: числитель: 8 альфа , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби равносильно H=2 корень 3 степени из: начало аргумента: дробь: числитель: альфа , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби конец аргумента .$ $V=H дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_о_с_н равносильно$
$равносильно H= дробь: числитель: 3V, знаменатель: S_о_с_н конец дроби равносильно$
$равносильно H= дробь: числитель: 3 альфа , знаменатель: дробь: числитель: x в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец дроби равносильно$
$равносильно H= дробь: числитель: 3 альфа , знаменатель: дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента H в квадрате , знаменатель: 8 конец дроби конец дроби равносильно$
$равносильно H в кубе = дробь: числитель: 8 альфа , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби равносильно$
$равносильно H=2 корень 3 степени из: начало аргумента: дробь: числитель: альфа , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби конец аргумента .$

Ответ: $2 корень 3 степени из: начало аргумента: дробь: числитель: альфа , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби конец аргумента .$

210

$2 корень 3 степени из: начало аргумента: дробь: числитель: альфа , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби конец аргумента .$

Классификатор алгебры: 3.2. Правильная треугольная пирамида, 4.2. Объем многогранника

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	210	$2 корень 3 степени из: начало аргумента: дробь: числитель: альфа , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби конец аргумента .$