РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 30 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 1.3. Угол между плоскостями, 3.6. Неправильные пирамиды, 4.1. Площадь поверхности многогранников

Задания на 10 баллов

Основание пирамиды MABCD  — ромб ABCD c диагоналями BD  =  6, AC  =  8. Все боковые грани пирамиды образуют с основанием угол, синус которого равен $дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби .$ Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение. Так как боковые грани пирамиды равнонаклонены к основанию, точка H, являющаяся основанием высоты пирамиды, является и центром вписанной окружности, то есть центром пересечения диагоналей ромба ABCD.

Проведём HK перпендикулярно к DC, тогда MK перпендикулярно к CD. Значит, угол MKH является линейным углом двугранного угла между гранью MCD и основанием пирамиды, тогда $синус \angle MKH = дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби .$

Рассмотрим ромб ABCD. Так как AC  =  8, BD  =  6, то:

$S_ABCD= дробь: числитель: AC умножить на BD, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 8 умножить на 6, знаменатель: 2 конец дроби = 24.$

По свойству ромба угол AHD равен 90°, а AH  =  4, HD  =  3, тогда по теореме Пифагора AD  =  5. По формуле $S=p умножить на r:$

$r = дробь: числитель: S, знаменатель: p конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 10 конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби ,$

то есть $HK= дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби .$

В прямоугольном треугольнике HMK отрезок $HK= дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби$ и $синус \angle MKH = дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби ,$ то есть $дробь: числитель: MH, знаменатель: MK конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби .$

Пусть MH  =  5x, MK  =  13x, тогда по теореме Пифагора:

$левая круглая скобка 13x правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 5x правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате равносильно x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ,$

значит, $MK= дробь: числитель: 13, знаменатель: 5 конец дроби .$ Имеем:

$S_MCD= дробь: числитель: MK умножить на CD, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби умножить на 5, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 13, знаменатель: 2 конец дроби .$

Так как боковые грани пирамиды  — равновеликие треугольники, то

$S_Б. П.=4 умножить на S_MCD = 4 умножить на дробь: числитель: 13, знаменатель: 2 конец дроби = 26.$

Ответ: 26.

26.

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	30	26.