Ре­ше­ние. Так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию, точка O, яв­ля­ю­ща­я­ся ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты пи­ра­ми­ды, яв­ля­ет­ся и цен­тром впи­сан­ной в тра­пе­цию ABCD окруж­но­сти.

Про­ведём OK пер­пен­ди­ку­ляр­но к AB, тогда MK пер­пен­ди­ку­ляр­но к AB. Зна­чит, угол MKO яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между гра­нью MAB и ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, тогда

Рас­смот­рим тра­пе­цию ABCD. Так как в тра­пе­цию можно впи­сать окруж­ность, то

Про­ведём вы­со­ту CH, тогда AH  =  BC, AB  =  CH и Пусть AB  =  x, тогда CD  =  9 – x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке CHD от­ре­зок AB  =  4. Имеем:

Ра­ди­ус впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию окруж­но­сти равен по­ло­ви­не вы­со­ты тра­пе­ции, то есть

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MOK от­ре­зок то есть Пусть MO  =  3x, MK  =  5x, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

зна­чит,

Найдём объём пи­ра­ми­ды по фор­му­ле:

Ответ: 9.