РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 420 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.9. Прямоугольный параллелепипед, 4.2. Объем многогранника

Задания на 10 баллов

В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, меньшая диагональ которого равна m, а острый угол $бета .$ Наибольшее расстояние между вершинами параллелепипеда равно n. Найдите объем параллелепипеда.

Решение. Пусть $\angle BAD= бета ,$ тогда $BD=m$   — меньшая диагональ. Если $BD=m,$ то $AC_1=n,$ так как наибольшее расстояние между вершинами соответствует длине диагонали того диагонального сечения, которое проходит через большую диагональ основания.

Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и лежат на биссектрисах его углов, то $AO= дробь: числитель: m, знаменатель: 2 конец дроби \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби$ из прямоугольного треугольника AOB. Тогда:

$AC=2AO=2 дробь: числитель: m, знаменатель: 2 конец дроби \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби =m\ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби .$

Получаем площадь основания $S_о_с_н= дробь: числитель: d_1d_2, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: m в квадрате \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби .$ Высота параллелепипеда:

$H=CC_1= корень из: начало аргумента: n в квадрате минус m в квадрате \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента .$

Находим объём параллелепипеда:

$V=H умножить на S_о_с_н=CC_1 умножить на дробь: числитель: m в квадрате \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: m в квадрате \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: n в квадрате минус m в квадрате \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ $V=H умножить на S_о_с_н=CC_1 умножить на дробь: числитель: m в квадрате \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: m в квадрате \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: n в квадрате минус m в квадрате \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ $V=H умножить на S_о_с_н=$
$=CC_1 умножить на дробь: числитель: m в квадрате \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: m в квадрате \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: n в квадрате минус m в квадрате \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: m в квадрате \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: n в квадрате минус m в квадрате \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

420

$дробь: числитель: m в квадрате \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: n в квадрате минус m в квадрате \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Классификатор алгебры: 3.9. Прямоугольный параллелепипед, 4.2. Объем многогранника

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	420	$дробь: числитель: m в квадрате \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: n в квадрате минус m в квадрате \ctg дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$