РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 429 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 6.4. Однородные тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Метод интервалов , Сведение к однородному уравнению в тригонометрии, Формулы кратных углов

Задания на 9 баллов

Решите уравнение $2 косинус в квадрате x=8 косинус 2x минус синус 2x.$ и укажите какое-нибудь его решение, удовлетворяющее неравенству $x в квадрате меньше Пи x.$

Решение. Упростим:

$2 косинус в квадрате x=8 косинус 2x минус синус 2x равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x=8 левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус 2 синус x косинус x равносильно$
$равносильно 3 косинус в квадрате x минус 4 синус в квадрате x минус синус x косинус x = 0.$

Заметим, что $косинус в квадрате x не равно 0,$ если cos²x = 0, то sin²x = 1, что противоречит условию, тогда разделим на cos²x. Имеем:

$4 тангенс в квадрате x плюс тангенс x минус 3 = 0 равносильно совокупность выражений tg x = минус 1, тангенс x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,x = арктангенс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$ $4 тангенс в квадрате x плюс тангенс x минус 3 = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений tg x = минус 1, тангенс x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,x = арктангенс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$

Решим методом интервалов неравенство:

$x в квадрате меньше Пи x равносильно x левая круглая скобка x минус Пи правая круглая скобка меньше 0 равносильно 0 меньше x меньше Пи .$

Положительный угол $арктангенс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше арктангенс 1 = арктангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ удовлетворяет данному неравенству.

Ответ: $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; арктангенс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n:k,n принадлежит Z правая фигурная скобка ; арктангенс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$

429

$левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; арктангенс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n:k,n принадлежит Z правая фигурная скобка ; арктангенс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$

Классификатор алгебры: 6.4. Однородные тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Метод интервалов , Сведение к однородному уравнению в тригонометрии, Формулы кратных углов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	429	$левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; арктангенс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n:k,n принадлежит Z правая фигурная скобка ; арктангенс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$