РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 47 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 6.2. Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Введение замены, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него, Формулы приведения и периодичность

Задания на 7 баллов

Решите уравнение $8 синус в квадрате x плюс 6 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка =9.$

Решение. Из основного тригонометрического тождества: $8 синус в квадрате x=8 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате правая круглая скобка .$ По формуле приведения $6 синус левая круглая скобка { дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка =6 косинус x.$ Теперь составим новое уравнение:

$8 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате правая круглая скобка плюс 6 косинус x=9 равносильно 8 косинус в квадрате x минус 6 косинус x плюс 1=0.$

Введем замену: пусть $t= косинус x.$ Теперь составим квадратное уравнение на t:

$8t в квадрате минус 6t плюс 1=0 равносильно совокупность выражений t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной:

$совокупность выражений косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности .$ $равносильно$ $совокупность выражений x=\pm арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z ,x =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k. конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка \pm арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

$левая фигурная скобка \pm арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 6.2. Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	47	$левая фигурная скобка \pm арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка .$