РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 669 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 6.2. Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, 6.8. Тригонометрические уравнения на сумму функций

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций, Формулы кратных углов

Задания на 9 баллов

При каком наименьшем положительном значении аргумента равны значения функций $y= косинус x минус синус 4x$ и $y= косинус 3x ?$

Решение. Запишем в виде уравнения:

$косинус x минус синус 4x= косинус 3x равносильно косинус x минус косинус 3x минус синус 4x=0 равносильно$
$равносильно 2 синус x синус 2x минус 2 синус 2x косинус 2x=0 равносильно$ $косинус x минус синус 4x= косинус 3x равносильно$
$равносильно косинус x минус косинус 3x минус синус 4x=0 равносильно$
$равносильно 2 синус x синус 2x минус 2 синус 2x косинус 2x=0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений синус 2x =0, синус x минус косинус 2x =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус 2x=0, синус x минус левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка =0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус 2x=0,2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1 =0 конец совокупности . равносильно$ $равносильно совокупность выражений синус 2x =0, синус x минус косинус 2x =0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус 2x=0, синус x минус левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка =0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус 2x=0,2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1 =0 конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений синус 2x =0, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени k дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности .$ $равносильно совокупность выражений синус 2x =0, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени k дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности .$

Найдем наименьший положительный корень. Возьмем k = 0 и подставим в полученные ответы : $0, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

При k = 1 будут получаться большие корни, следовательно, наименьший положительный корень $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

669

$дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций, Формулы кратных углов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	669	$дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$