В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 10, 10 и 12, все боковые грани наклонены к ее основанию под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение. 
Введем обозначения, как показано на рисунке. Опустим высоту пирамиды SO, проведем из точки O отрезки OM, ON и OK, перпендикулярные сторонам основания пирамиды AB, AC и BC. Углы SMO, SNO и SKO равны 60° как линейные углы углов между боковыми гранями и основанием. Прямоугольные треугольники SOM, SON, SOK равны по катету и острому углу, из этого следует равенство их катетов OM, OK и ON, а также равенство их гипотенуз SM, SK, SN. Точка O равноудалена от всех сторон треугольника ABC, а значит, является центром вписанной окружности. Найдем площадь треугольника ABC, воспользовавшись формулой Герона. Полупериметр треугольника ABC равен
По формуле Герона:
Выразим площадь треугольника через радиус вписанной окружности: 
Найдем радиус вписанной окружности: 
В прямоугольном треугольнике SOM катет OM, длина которого равна 3, лежит напротив угла MSO, градусная мера которого равна 30°. Следовательно, длина гипотенузы SM вдвое больше длины катета MO и равна 6. Найдем площади треугольников ASB, ASC и BSC:
Найдем площадь боковой поверхности пирамиды:
Ответ: 96.
Ответ: 96.
