Ре­ше­ние.

Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. Так как дан­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то тре­уголь­ник ABC  — пра­виль­ный, а бо­ко­вые грани  — рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки.

Так как точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, то AM  — ме­ди­а­на и вы­со­та по свой­ству рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков. Зна­чит, пря­мая AM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC. Ана­ло­гич­но, пря­мая PM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC. Таким об­ра­зом,   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми (ABC) и (PBC), так как пря­мая AM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC, пря­мая PM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC, Со­глас­но усло­вию,

Най­дем длину HM:

Най­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды:

По­сколь­ку имеем:

Ответ: 18 см³.

Ре­ше­ние. Пи­ра­ми­да SABC  — пра­виль­ная, в ее ос­но­ва­нии лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC. Про­ве­дем в этом тре­уголь­ни­ке вы­со­ту AM, тогда, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мые SM и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Угол SMH яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла при ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды. Так как бо­ко­вая грань на­кло­не­на к ос­но­ва­нию под углом, рав­ным тан­генс угла SMH равен 3. Имеем:

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC от­ре­зок AM яв­ля­ет­ся вы­со­той и ме­ди­а­ной. Вер­ши­на пи­ра­ми­ды про­еци­ру­ет­ся в центр тре­уголь­ни­ка ABC  — точку H, ко­то­рая яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти и точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но, делит ме­ди­а­ну AM на два от­рез­ка в от­но­ше­нии 2 : 1 счи­тая от вер­ши­ны, таким об­ра­зом, AH : HM  =  2 : 1. Тогда длина AM втрое боль­ше длины HM и равна 3 см. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AMB угол ABM равен 60°, сле­до­ва­тель­но, угол BAM равен 30°. Длина ка­те­та BM, ле­жа­ще­го на­про­тив угла, рав­но­го 30°, равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AB. При­мем за x длину BM. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

от­ку­да Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

Ответ: