РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Варианты заданий

1.  Задание № 1326 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.3. Правильная четырёхугольная пирамида, 5.6. Сечение  — треугольник, 5.9. Периметр, площадь сечения

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Задания на 7 баллов

Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды PABCD плоскостью DBK и найдите его площадь, если известно, что каждое ребро пирамиды равно 6 см и точка K является серединой ребра PC.

Решение. Основанием пирамиды является квадрат ABCD. Искомым сечением является треугольник BKD. В прямоугольном треугольнике ABD по теореме Пифагора:

$AB в квадрате плюс AD в квадрате = BD в квадрате равносильно 6 в квадрате плюс 6 в квадрате = BD в квадрате равносильно$
$равносильно BD в квадрате = 72 равносильно BD = корень из: начало аргумента: 72 конец аргумента равносильно BD = 6 корень из 2 см.$ $AB в квадрате плюс AD в квадрате = BD в квадрате равносильно$
$равносильно 6 в квадрате плюс 6 в квадрате = BD в квадрате равносильно BD в квадрате = 72 равносильно$
$равносильно BD = корень из: начало аргумента: 72 конец аргумента равносильно BD = 6 корень из 2 см.$ $AB в квадрате плюс AD в квадрате = BD в квадрате равносильно$
$равносильно 6 в квадрате плюс 6 в квадрате = BD в квадрате равносильно$
$равносильно BD в квадрате = 72 равносильно BD = корень из: начало аргумента: 72 конец аргумента равносильно$
$равносильно BD = 6 корень из 2 см.$

В равносторонних треугольниках DSC и BSC отрезки DK и BK являются медианами и высотами, тогда длины отрезков SK и KC равны 3 см. В прямоугольном треугольнике DKC по теореме Пифагора:

$DK в квадрате плюс KC в квадрате = DC в квадрате равносильно DK в квадрате плюс 3 в квадрате = 6 в квадрате равносильно$
$равносильно DK в квадрате = 27 равносильно DK = корень из: начало аргумента: 27 конец аргумента равносильно DK = 3 корень из 3 см.$ $DK в квадрате плюс KC в квадрате = DC в квадрате равносильно$
$равносильно DK в квадрате плюс 3 в квадрате = 6 в квадрате равносильно DK в квадрате = 27 равносильно$
$равносильно DK = корень из: начало аргумента: 27 конец аргумента равносильно DK = 3 корень из 3 см.$ $DK в квадрате плюс KC в квадрате = DC в квадрате равносильно$
$равносильно DK в квадрате плюс 3 в квадрате = 6 в квадрате равносильно$
$равносильно DK в квадрате = 27 равносильно DK = корень из: начало аргумента: 27 конец аргумента равносильно$
$равносильно DK = 3 корень из 3 см.$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике BSK:

$BK в квадрате плюс SK в квадрате = BS в квадрате равносильно BK в квадрате плюс 3 в квадрате = 6 в квадрате равносильно$
$равносильно BK в квадрате = 27 равносильно BK = корень из: начало аргумента: 27 конец аргумента равносильно BK = 3 корень из 3 см.$ $BK в квадрате плюс SK в квадрате = BS в квадрате равносильно$
$равносильно BK в квадрате плюс 3 в квадрате = 6 в квадрате равносильно BK в квадрате = 27 равносильно$
$равносильно BK = корень из: начало аргумента: 27 конец аргумента равносильно BK = 3 корень из 3 см.$ $BK в квадрате плюс SK в квадрате = BS в квадрате равносильно$
$равносильно BK в квадрате плюс 3 в квадрате = 6 в квадрате равносильно$
$равносильно BK в квадрате = 27 равносильно BK = корень из: начало аргумента: 27 конец аргумента равносильно$
$равносильно BK = 3 корень из 3 см.$

Треугольник BKD является равнобедренным, так как отрезки DK и BK равны. Отрезок KO является медианой и высотой в равнобедренном треугольнике BKD, тогда длина отрезка BO равна половине длины отрезка BD и равна $3 корень из 2 см.$ По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике KOD:

$KO в квадрате плюс OD в квадрате = KD в квадрате равносильно KO в квадрате плюс левая круглая скобка 3 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 3 корень из 3 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно KO в квадрате = 9 равносильно KO = 3 см.$ $KO в квадрате плюс OD в квадрате = KD в квадрате равносильно$
$равносильно KO в квадрате плюс левая круглая скобка 3 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 3 корень из 3 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно KO в квадрате = 9 равносильно KO = 3 см.$

Найдем площадь треугольника BKD:

$S = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на BD умножить на KO = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 корень из 2 умножить на 3 = 9 корень из 2 см в квадрате .$

Ответ: $9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см в квадрате .$

1326

$9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см в квадрате .$

Методы алгебры: Теорема Пифагора

2.  Задание № 1336 Добавить в вариант

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Задания на 7 баллов

Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды PABCD и плоскостью ACM и найдите его площадь, если известно, что каждое ребро пирамиды равно 4 см и точка M является серединой ребра BP.

Решение. Основанием пирамиды является квадрат ABCD. Искомым сечением является треугольник AMC. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ADC:

$AD в квадрате плюс DC в квадрате = AC в квадрате равносильно 4 в квадрате плюс 4 в квадрате = AC в квадрате равносильно$
$равносильно AC = корень из: начало аргумента: 32 конец аргумента равносильно AC = 4 корень из 2 см.$ $AD в квадрате плюс DC в квадрате = AC в квадрате равносильно$
$равносильно 4 в квадрате плюс 4 в квадрате = AC в квадрате равносильно AC = корень из: начало аргумента: 32 конец аргумента равносильно$
$равносильно AC = 4 корень из 2 см.$ $AD в квадрате плюс DC в квадрате = AC в квадрате равносильно$
$равносильно 4 в квадрате плюс 4 в квадрате = AC в квадрате равносильно$
$равносильно AC = корень из: начало аргумента: 32 конец аргумента равносильно AC = 4 корень из 2 см.$ $AD в квадрате плюс DC в квадрате = AC в квадрате равносильно$
$равносильно 4 в квадрате плюс 4 в квадрате = AC в квадрате равносильно$
$равносильно AC = корень из: начало аргумента: 32 конец аргумента равносильно$
$равносильно AC = 4 корень из 2 см.$

В равносторонних треугольниках ASB и SCB отрезки AM и CM являются медианами и высотами, тогда отрезки SM и MB равны 2 см. По теореме Пифагора в треугольнике ASM:

$AS в квадрате = AM в квадрате плюс SM в квадрате равносильно 4 в квадрате = AM в квадрате плюс 2 в квадрате равносильно$
$равносильно AM в квадрате = 12 равносильно AM = корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента равносильно AM = 2 корень из 3 см.$ $AS в квадрате = AM в квадрате плюс SM в квадрате равносильно$
$равносильно 4 в квадрате = AM в квадрате плюс 2 в квадрате равносильно AM в квадрате = 12 равносильно$
$равносильно AM = корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента равносильно AM = 2 корень из 3 см.$ $AS в квадрате = AM в квадрате плюс SM в квадрате равносильно$
$равносильно 4 в квадрате = AM в квадрате плюс 2 в квадрате равносильно$
$равносильно AM в квадрате = 12 равносильно AM = корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента равносильно$
$равносильно AM = 2 корень из 3 см.$

По теореме Пифагора в треугольнике SMC:

$SC в квадрате = SM в квадрате плюс MC в квадрате равносильно 4 в квадрате = 2 в квадрате плюс MC в квадрате равносильно$
$равносильно MC в квадрате = 12 равносильно MC = корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента равносильно MC = 2 корень из 3 см.$ $SC в квадрате = SM в квадрате плюс MC в квадрате равносильно$
$равносильно 4 в квадрате = 2 в квадрате плюс MC в квадрате равносильно MC в квадрате = 12 равносильно$
$равносильно MC = корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента равносильно MC = 2 корень из 3 см.$ $SC в квадрате = SM в квадрате плюс MC в квадрате равносильно$
$равносильно 4 в квадрате = 2 в квадрате плюс MC в квадрате равносильно$
$равносильно MC в квадрате = 12 равносильно MC = корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента равносильно$
$равносильно MC = 2 корень из 3 см.$ $SC в квадрате = SM в квадрате плюс MC в квадрате равносильно$
$равносильно 4 в квадрате = 2 в квадрате плюс MC в квадрате равносильно$
$равносильно MC в квадрате = 12 равносильно$
$равносильно MC = корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента равносильно$
$равносильно MC = 2 корень из 3 см.$

Треугольник AMC является равнобедренным, так как отрезки AM и CM равны. Отрезок MO является медианой и высотой в равнобедренном треугольнике AMC, тогда длина AO равна половине длины AC и равна $2 корень из 2 см.$ По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AOM:

$AM в квадрате = AO в квадрате плюс OM в квадрате равносильно левая круглая скобка 2 корень из 3 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате плюс OM в квадрате равносильно$
$равносильно MO в квадрате = 4 равносильно MO = 2 см.$ $AM в квадрате = AO в квадрате плюс OM в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 корень из 3 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате плюс OM в квадрате равносильно$
$равносильно MO в квадрате = 4 равносильно MO = 2 см.$

Найдем площадь треугольника AMC:

$S = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AC умножить на MO = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 корень из 2 умножить на 2 = 4 корень из 2 см в квадрате .$ $S = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AC умножить на MO =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 корень из 2 умножить на 2 = 4 корень из 2 см в квадрате .$

Ответ: $4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см в квадрате .$

1336

$4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см в квадрате .$

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1326	$9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см в квадрате .$
2	1336	$4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см в квадрате .$