РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 1008 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 13.3. Монотонность и экстремумы функции

Задания на 9 баллов

Найдите точки экстремума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 3 плюс 2 x в квадрате , знаменатель: 1 минус x конец дроби .$

Решение. Данная функция определена при $x не равно 1.$ Возьмем производную этой функции:

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 3 плюс 2 x в квадрате , знаменатель: 1 минус x конец дроби правая круглая скобка '= дробь: числитель: левая круглая скобка 3 плюс 2x в квадрате правая круглая скобка ' левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка ' левая круглая скобка 3 плюс 2x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: 4x левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс 2x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 4x минус 4x в квадрате плюс 3 плюс 2x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: минус 2x в квадрате плюс 4x плюс 3, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$ $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 3 плюс 2 x в квадрате , знаменатель: 1 минус x конец дроби правая круглая скобка '= дробь: числитель: левая круглая скобка 3 плюс 2x в квадрате правая круглая скобка ' левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка ' левая круглая скобка 3 плюс 2x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: 4x левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс 2x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: 4x минус 4x в квадрате плюс 3 плюс 2x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: минус 2x в квадрате плюс 4x плюс 3, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$ $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 3 плюс 2 x в квадрате , знаменатель: 1 минус x конец дроби правая круглая скобка '=$
$= дробь: числитель: левая круглая скобка 3 плюс 2x в квадрате правая круглая скобка ' левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка ' левая круглая скобка 3 плюс 2x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: 4x левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс 2x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: 4x минус 4x в квадрате плюс 3 плюс 2x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: минус 2x в квадрате плюс 4x плюс 3, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$

При $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ получим:

$2x в квадрате минус 4x минус 3=0 равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 2 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Рассмотрев знаки производной и характер монотонности функции (см. рис.), увидим, что функция имеет два экстремума: минимум в точке $x= дробь: числитель: 2 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ и максимум в точке $x= дробь: числитель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $x_\min = дробь: числитель: 2 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $x_\max = дробь: числитель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

1008

$x_\min = дробь: числитель: 2 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $x_\max = дробь: числитель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Классификатор алгебры: 13.3. Монотонность и экстремумы функции

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1008	$x_\min = дробь: числитель: 2 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $x_\max = дробь: числитель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$