Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 1008
i

Най­ди­те точки экс­тре­му­ма функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3 плюс 2 x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 1 минус x конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Дан­ная функ­ция опре­де­ле­на при x не равно 1. Возь­мем про­из­вод­ную этой функ­ции:

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 плюс 2 x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 1 минус x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 3 плюс 2x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка ' левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка ' левая круг­лая скоб­ка 3 плюс 2x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 4x левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3 плюс 2x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4x минус 4x в квад­ра­те плюс 3 плюс 2x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 2x в квад­ра­те плюс 4x плюс 3, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби .

При f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 по­лу­чим:

2x в квад­ра­те минус 4x минус 3=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x= дробь: чис­ли­тель: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Рас­смот­рев знаки про­из­вод­ной и ха­рак­тер мо­но­тон­но­сти функ­ции (см. рис.), уви­дим, что функ­ция имеет два экс­тре­му­ма: ми­ни­мум в точке x= дробь: чис­ли­тель: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и мак­си­мум в точке x= дробь: чис­ли­тель: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: x_\min = дробь: чис­ли­тель: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; x_\max = дробь: чис­ли­тель: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .


Аналоги к заданию № 1008: 1018 Все

Классификатор алгебры: 13.3. Мо­но­тон­ность и экс­тре­му­мы функ­ции
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024