РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 1407 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 6.4. Однородные тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Сведение к однородному уравнению в тригонометрии, Тригонометрическая замена, Формулы кратных углов

Задания на 8 баллов

Найдите все корни уравнения $4 синус в квадрате x минус синус 2x=2 косинус в квадрате x.$

Решение. Выполним преобразования, воспользовавшись формулой $синус 2 альфа = 2 синус альфа косинус альфа :$

$4 синус в квадрате x минус синус 2x=2 косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x минус 2 синус x косинус x = 2 косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x минус синус x косинус x минус косинус в квадрате x = 0.$

Значения x, при которых $косинус x = 0,$ не являются решениями данного уравнения, поэтому можем разделить обе части уравнения на $косинус в квадрате x,$ получаем уравнение $2 тангенс в квадрате минус тангенс x минус 1 = 0.$ Примем за t $тангенс x,$ имеем:

$2t в квадрате минус t минус 1 = 0 равносильно совокупность выражений t = 1,t = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной:

$совокупность выражений тангенс x = 1, тангенс x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z ,x = минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z . конец совокупности .$ $совокупность выражений тангенс x = 1, тангенс x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z ,x = минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z . конец совокупности .$

Ответ: $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z; минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z.$

1407

$дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z; минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z.$

Классификатор алгебры: 6.4. Однородные тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1407	$дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z; минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z.$