РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 220 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.2. Правильная треугольная пирамида, 4.2. Объем многогранника

Задания на 10 баллов

Объем треугольной пирамиды, у которой все ребра равны, равен b. Найдите ребро пирамиды.

Решение. У данной пирамиды все ребра равны. Пусть ребро пирамиды равно $xсм.$ Точка падения высоты совпадает с центром описанной вокруг основания окружности, $R= дробь: числитель: x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$ Из прямоугольного треугольника AOP:

$AP в квадрате =PO в квадрате плюс AO в квадрате равносильно PO в квадрате =AP в квадрате минус AO в квадрате равносильно$
$равносильно PO в квадрате =x в квадрате минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби равносильно PO в квадрате = дробь: числитель: 2x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби равносильно PO= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента x, знаменатель: 3 конец дроби .$ $AP в квадрате =PO в квадрате плюс AO в квадрате равносильно PO в квадрате =AP в квадрате минус AO в квадрате равносильно$
$равносильно PO в квадрате =x в квадрате минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно PO в квадрате = дробь: числитель: 2x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби равносильно PO= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента x, знаменатель: 3 конец дроби .$ $AP в квадрате =PO в квадрате плюс AO в квадрате равносильно$
$равносильно PO в квадрате =AP в квадрате минус AO в квадрате равносильно$
$равносильно PO в квадрате =x в квадрате минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно PO в квадрате = дробь: числитель: 2x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби равносильно PO= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента x, знаменатель: 3 конец дроби .$ $AP в квадрате =PO в квадрате плюс AO в квадрате равносильно$
$равносильно PO в квадрате =AP в квадрате минус AO в квадрате равносильно$
$равносильно PO в квадрате =x в квадрате минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно PO в квадрате = дробь: числитель: 2x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно PO= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента x, знаменатель: 3 конец дроби .$

Из формулы объема пирамиды имеем:

$V=H дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_о_с_н равносильно V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента x, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: x в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно V= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента x в кубе , знаменатель: 36 конец дроби равносильно b= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента x в кубе , знаменатель: 12 конец дроби равносильно$ $V=H дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_о_с_н равносильно$
$равносильно V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента x, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: x в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно V= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента x в кубе , знаменатель: 36 конец дроби равносильно b= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента x в кубе , знаменатель: 12 конец дроби равносильно$ $V=H дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_о_с_н равносильно$
$равносильно V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента x, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: x в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно V= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента x в кубе , знаменатель: 36 конец дроби равносильно$
$равносильно b= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента x в кубе , знаменатель: 12 конец дроби равносильно$

$равносильно x в кубе = дробь: числитель: 12b, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби равносильно x в кубе =6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента b равносильно x= корень 3 степени из: начало аргумента: 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента b конец аргумента .$ $равносильно x в кубе = дробь: числитель: 12b, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби равносильно$
$равносильно x в кубе =6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента b равносильно x= корень 3 степени из: начало аргумента: 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента b конец аргумента .$ $равносильно x в кубе = дробь: числитель: 12b, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби равносильно$
$равносильно x в кубе =6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента b равносильно$
$равносильно x= корень 3 степени из: начало аргумента: 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента b конец аргумента .$

Ответ: $корень 3 степени из: начало аргумента: 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента b конец аргумента .$

220

$корень 3 степени из: начало аргумента: 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента b конец аргумента .$

Классификатор алгебры: 3.2. Правильная треугольная пирамида, 4.2. Объем многогранника

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	220	$корень 3 степени из: начало аргумента: 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента b конец аргумента .$