РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 430 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 1.5. Угол между прямыми, 3.2. Правильная треугольная пирамида, 3.17. Конус, 3.24. Комбинации многогранников и круглых тел, 4.4. Объёмы круглых тел

Методы алгебры: Теорема Пифагора, Теорема косинусов

Задания на 10 баллов

Около конуса описана правильная треугольная пирамида, длина каждого ребра которой равна b. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса и объем конуса.

Решение. Основание конуса вписано в основание пирамиды, а вершины конуса и пирамиды совпадают. DO  — высота пирамиды и конуса, O  — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Значит, $OM = r = дробь: числитель: b, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби ,$ тогда $MK = дробь: числитель: b, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$ Так как DK и DM  — образующие конуса, а треугольник DMK  — осевое сечение, то $DK = DM = дробь: числитель: b корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ Тогда имеем:

$косинус \angle MDK = дробь: числитель: MD в квадрате плюс KD в квадрате минус MK в квадрате , знаменатель: 2 умножить на MD умножить на DK конец дроби =$
$= дробь: числитель: дробь: числитель: 3b в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 3b в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: 2 умножить на дробь: числитель: b корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: b корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 7b в квадрате , знаменатель: 6 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: 3b в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 9 конец дроби$ $косинус \angle MDK =$
$= дробь: числитель: MD в квадрате плюс KD в квадрате минус MK в квадрате , знаменатель: 2 умножить на MD умножить на DK конец дроби =$
$= дробь: числитель: дробь: числитель: 3b в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 3b в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: 2 умножить на дробь: числитель: b корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: b корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 7b в квадрате , знаменатель: 6 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: 3b в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 9 конец дроби$

Отсюда угол $MDK = арккосинус дробь: числитель: 7, знаменатель: 9 конец дроби .$ Тогда из прямоугольного треугольника MOD высота конуса

$H = DO = корень из: начало аргумента: MD в квадрате минус MO в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка дробь: числитель: b корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: b, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = b корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента .$ $H = DO = корень из: начало аргумента: MD в квадрате минус MO в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка дробь: числитель: b корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: b, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец аргумента =$
$= b корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента .$

Объём конуса найдём по формуле

$V = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи r в квадрате H = дробь: числитель: Пи b в кубе корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 108 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: Пи b в кубе корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 108 конец дроби .$

430

$дробь: числитель: Пи b в кубе корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 108 конец дроби .$

Методы алгебры: Теорема Пифагора, Теорема косинусов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	430	$дробь: числитель: Пи b в кубе корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 108 конец дроби .$