Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Около ко­ну­са опи­са­на пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, длина каж­до­го ребра ко­то­рой равна b. Най­ди­те угол при вер­ши­не осе­во­го се­че­ния ко­ну­са и объем ко­ну­са.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ние ко­ну­са впи­са­но в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, а вер­ши­ны ко­ну­са и пи­ра­ми­ды сов­па­да­ют. DO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды и ко­ну­са, O  — центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти. Зна­чит, OM = r = дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , тогда MK = дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Так как DK и DM  — об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са, а тре­уголь­ник DMK  — осе­вое се­че­ние, то DK = DM = дробь: чис­ли­тель: b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Тогда имеем:

ко­си­нус \angle MDK = дробь: чис­ли­тель: MD в квад­ра­те плюс KD в квад­ра­те минус MK в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на MD умно­жить на DK конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 3b в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3b в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: b в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 7b в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 3b в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби

От­сю­да угол MDK = арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби . Тогда из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MOD вы­со­та ко­ну­са

H = DO = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: MD в квад­ра­те минус MO в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Объём ко­ну­са найдём по фор­му­ле

V = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи r в квад­ра­те H = дробь: чис­ли­тель: Пи b в кубе ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 108 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: Пи b в кубе ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 108 конец дроби .

Классификатор алгебры: 1.5. Угол между пря­мы­ми, 3.2. Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, 3.17. Конус, 3.24. Ком­би­на­ции мно­го­гран­ни­ков и круг­лых тел, 4.4. Объёмы круг­лых тел
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024