РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 530 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 4.4. Объёмы круглых тел

Методы алгебры: Использование тригонометрии

Задания на 10 баллов

Высота конуса равна h, расстояние от центра основания конуса до его образующей m. Выразите через m и h объем конуса.

Решение. Треугольник ABC  — осевое сечение, CO  =  h  — высота конуса, OK  =  m  — перпендикуляр к образующей BC.

Пусть $\angle OCB = \angle KOB = альфа .$ Тогда из треугольника CKO: $синус альфа = дробь: числитель: m, знаменатель: h конец дроби .$ Так как угол α острый, получаем, что:

$косинус альфа = корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: m в квадрате , знаменатель: h в квадрате конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: h в квадрате минус m в квадрате конец аргумента , знаменатель: h конец дроби .$

В треугольнике OKB:

$r = OB = дробь: числитель: OK, знаменатель: косинус альфа конец дроби = дробь: числитель: m, знаменатель: дробь: числитель: корень из: начало аргумента: h в квадрате минус m в квадрате конец аргумента , знаменатель: h конец дроби конец дроби = дробь: числитель: mh, знаменатель: корень из: начало аргумента: h в квадрате минус m в квадрате конец аргумента конец дроби .$

Объём конуса найдём по формуле

$V = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи r в квадрате h = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи умножить на дробь: числитель: m в квадрате h в квадрате , знаменатель: h в квадрате минус m в квадрате конец дроби умножить на h = дробь: числитель: Пи m в квадрате h в кубе , знаменатель: 3 левая круглая скобка h в квадрате минус m в квадрате правая круглая скобка конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: Пи m в квадрате h в кубе , знаменатель: 3 левая круглая скобка h в квадрате минус m в квадрате правая круглая скобка конец дроби .$

530

$дробь: числитель: Пи m в квадрате h в кубе , знаменатель: 3 левая круглая скобка h в квадрате минус m в квадрате правая круглая скобка конец дроби .$

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 4.4. Объёмы круглых тел

Методы алгебры: Использование тригонометрии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	530	$дробь: числитель: Пи m в квадрате h в кубе , знаменатель: 3 левая круглая скобка h в квадрате минус m в квадрате правая круглая скобка конец дроби .$