Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 530
i

Вы­со­та ко­ну­са равна h, рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са до его об­ра­зу­ю­щей m. Вы­ра­зи­те через m и h объем ко­ну­са.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ник ABC  — осе­вое се­че­ние, CO  =  h  — вы­со­та ко­ну­са, OK  =  m  — пер­пен­ди­ку­ляр к об­ра­зу­ю­щей BC.

Пусть \angle OCB = \angle KOB = альфа . Тогда из тре­уголь­ни­ка CKO: синус альфа = дробь: чис­ли­тель: m, зна­ме­на­тель: h конец дроби . Так как угол α ост­рый, по­лу­ча­ем, что:

ко­си­нус альфа = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: m в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: h в квад­ра­те конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те минус m в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: h конец дроби .

В тре­уголь­ни­ке OKB:

r = OB = дробь: чис­ли­тель: OK, зна­ме­на­тель: ко­си­нус альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: m, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те минус m в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: h конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: mh, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те минус m в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Объём ко­ну­са найдём по фор­му­ле

V = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи r в квад­ра­те h = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи умно­жить на дробь: чис­ли­тель: m в квад­ра­те h в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: h в квад­ра­те минус m в квад­ра­те конец дроби умно­жить на h = дробь: чис­ли­тель: Пи m в квад­ра­те h в кубе , зна­ме­на­тель: 3 левая круг­лая скоб­ка h в квад­ра­те минус m в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: Пи m в квад­ра­те h в кубе , зна­ме­на­тель: 3 левая круг­лая скоб­ка h в квад­ра­те минус m в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 4.4. Объёмы круг­лых тел
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние три­го­но­мет­рии
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024