РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 540 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 4.3. Площадь поверхности круглых тел

Методы алгебры: Использование тригонометрии

Задания на 10 баллов

Радиус основания конуса равен r, расстояние от центра основания конуса до его образующей равно k. Выразите через r и k площадь боковой поверхности конуса.

Решение. Треугольник ABC  — осевое сечение, CO  — высота конуса, OK  =  k  — перпендикуляр к образующей BC.

Пусть $\angle OCB = \angle KOB = альфа .$ Тогда из треугольника KOB $косинус альфа = дробь: числитель: k, знаменатель: r конец дроби .$ Так как угол α острый, получаем, что

$синус альфа = корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: k в квадрате , знаменатель: r в квадрате конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: r в квадрате минус k в квадрате конец аргумента , знаменатель: r конец дроби .$

В треугольнике OCB:

$BC = дробь: числитель: OB, знаменатель: синус альфа конец дроби = дробь: числитель: r, знаменатель: дробь: числитель: корень из: начало аргумента: r в квадрате минус k в квадрате конец аргумента , знаменатель: r конец дроби конец дроби = дробь: числитель: r в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: r в квадрате минус k в квадрате конец аргумента конец дроби .$

Площадь боковой поверхности найдём по формуле

$S_Б. П. = Пи r умножить на BC = Пи r дробь: числитель: r в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: r в квадрате минус k в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: Пи r в кубе корень из: начало аргумента: r в квадрате минус k в квадрате конец аргумента , знаменатель: r в квадрате минус k в квадрате конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: Пи r в кубе корень из: начало аргумента: r в квадрате минус k в квадрате конец аргумента , знаменатель: r в квадрате минус k в квадрате конец дроби .$

540

$дробь: числитель: Пи r в кубе корень из: начало аргумента: r в квадрате минус k в квадрате конец аргумента , знаменатель: r в квадрате минус k в квадрате конец дроби .$

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 4.3. Площадь поверхности круглых тел

Методы алгебры: Использование тригонометрии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	540	$дробь: числитель: Пи r в кубе корень из: начало аргумента: r в квадрате минус k в квадрате конец аргумента , знаменатель: r в квадрате минус k в квадрате конец дроби .$