РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 590 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.12. Правильная шестиугольная призма, 3.22. Комбинации многогранников, 4.2. Объем многогранника

Задания на 10 баллов

Большая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 12 см и образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем треугольной призмы, вершины которой являются вершинами оснований данной шестиугольной призмы, взятыми через одну.

Решение. Площадь правильного треугольника ACE равна половине площади правильного шестиугольника ABCDEF.

В прямоугольном треугольнике B₁BE гипотенуза B₁E  =  12 см, $\angle B_1EB = 60 градусов ,$ тогда $\angle BB_1E = 30 градусов ,$ тогда BE  =  6 см, а $B_1B = 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см.$

В правильном шестиугольнике ABCDEF BE  — большая диагональ, тогда BE  =  2AB, AB  =  3 см. Площадь ABCDEF найдём по формуле

$S_ABCDEF = дробь: числитель: 3a в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на 9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 27 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби см в квадрате .$ $S_ABCDEF = дробь: числитель: 3a в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 3 умножить на 9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 27 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби см в квадрате .$

Тогда $S_ACE = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S_ABCDEF,$ то есть $S_ACE = дробь: числитель: 27 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби см в квадрате .$ Заметим, что $V_ACEA_1C_1E_1 = S_ACE умножить на BB_1.$ Тогда

$V_ACEA_1C_1E_1 = дробь: числитель: 27 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби умножить на 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = дробь: числитель: 243, знаменатель: 2 конец дроби = 121,5 см в кубе .$ $V_ACEA_1C_1E_1 = дробь: числитель: 27 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби умножить на 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =$
$= дробь: числитель: 243, знаменатель: 2 конец дроби = 121,5 см в кубе .$

Ответ: 121,5 см³.

590

121,5 см³.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	590	121,5 см³.