РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 819 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 1.2. Перпендикулярность в пространстве, 1.6. Угол между плоскостями, 2.4. Расстояние между точками

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Задания на 10 баллов

Плоскости параллелограмма ABCD и прямоугольного треугольника ABP взаимно перпендикулярны. Известно, что AP  =  30, BP  =  40, $A D=32,$ $\angle A P B=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $\angle A D C=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Найдите расстояние между точками P и C.

Решение. Проведем высоты PH в треугольнике ABP. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABP найдем AB:

$AB= корень из: начало аргумента: AP в квадрате плюс PB в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 30 в квадрате плюс 40 в квадрате конец аргумента =50.$

Поскольку высота PH проведена из прямого угла, имеем:

$PH= дробь: числитель: AP умножить на PB, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 30 умножить на 40, знаменатель: 25 конец дроби =24.$

По теореме Пифагора отрезок HB равен

$HB= корень из: начало аргумента: PB в квадрате минус PH в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 40 в квадрате минус 24 в квадрате конец аргумента =32.$

В параллелограмме ABCD проведем высоту CK. Заметим, что $BC=AD=32$ и $\angle ADC = \angle ABC.$ Треугольник HCB  — равносторонний, поскольку $HB=CB$ и $\angle HCB=60°.$ Тогда $HC=BC=32.$

Поскольку плоскости треугольника ABP и параллелограмма ABCD образуют двугранный угол и отрезок PH перпендикулярен AB, а значит, перпендикулярен плоскости ABC, то угол PHC  — двугранный. В прямоугольном треугольнике PHC по теореме Пифагора найдем PC:

$PC= корень из: начало аргумента: PH в квадрате плюс HC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 24 в квадрате плюс 32 в квадрате конец аргумента =40.$

Ответ: 40.

819

40.

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	819	40.