РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Задания

Задание № 979 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.6. Неправильные пирамиды, 4.2 Комбинации тел

Методы алгебры: Теорема о трёх перпендикулярах

Задания на 10 баллов

Основанием пирамиды MABCD служит прямоугольник ABCD, AB  =  a. Ребро MB перпендикулярно плоскости основания, а грани AMD и DMC составляют с основанием соответственно углы 30° и 60°. Найдите объем пирамиды.

Решение. Поскольку проекция MA на плоскость ABCD  — прямая AB, которая перпендикулярна AD, значит, по теореме о трех перпендикулярах прямая MA перпендикулярна прямой AD. Следовательно, угол BAM  — это линейный двугранного угла между гранью AMD и основанием, который равен 30°. Аналогично прямая MC перпендикулярна прямой BC и угол MCB равен 60°.

Из прямоугольного треугольника MBA выразим MB:

$MB= тангенс 30 градусов AB= дробь: числитель: a корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

Из прямоугольного треугольника MBC выразим BC:

$BC=\ctg60 градусов MB= дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби .$

Таким образом, объем пирамиды равен

$V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на S_осн умножить на MB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на AB умножить на BC умножить на MB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на a умножить на дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: a корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: a в кубе корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 27 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: a в кубе корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 27 конец дроби .$

979

$дробь: числитель: a в кубе корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 27 конец дроби .$

Классификатор алгебры: 3.6. Неправильные пирамиды, 4.2 Комбинации тел

Методы алгебры: Теорема о трёх перпендикулярах

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	979	$дробь: числитель: a в кубе корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 27 конец дроби .$