РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Варианты заданий

1.  Задание № 1127 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 13.4. Наибольшее и наименьшее значение функции, 15.8. Применение производной к исследованию функции

Задания на 8 баллов

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =5 плюс 4x в кубе минус x в степени 4$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 1;4 правая квадратная скобка .$

Решение. Данная функция определена при всех действительных значениях x. Возьмем производную этой функции:

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка 5 плюс 4x в кубе минус x в степени 4 правая круглая скобка '=12x в квадрате минус 4x в кубе .$

При $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ получим:

$12x в квадрате минус 4x в кубе =0 равносильно 4x в квадрате левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка =0 совокупность выражений x=0,x=3. конец совокупности .$

На данном промежутке функция имеет два экстремума в точке $x=0$ и $x=3.$ Найдем наименьшее и наибольшее значения функции:

$f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =5 плюс 4 умножить на 0 в кубе минус 0 в степени 4 =5;$

$f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =5 плюс 4 умножить на 3 в кубе минус 3 в степени 4 =32;$

$f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =5 плюс 4 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в кубе минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени 4 =0;$

$f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =5 плюс 4 умножить на 4 в кубе минус 4 в квадрате =5.$

Таким образом, наименьшее значение функции равно 0 в точке $x= минус 1$ и наибольшее значение равно 32 в точке $x=3.$

Ответ: $f левая круглая скобка x правая круглая скобка _min=f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =0;$ $f левая круглая скобка x правая круглая скобка _max=f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =32.$

1127

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка _min=f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =0;$ $f левая круглая скобка x правая круглая скобка _max=f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =32.$

2.  Задание № 1137 Добавить в вариант

Задания на 8 баллов

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 2x в кубе минус 6x в квадрате плюс 5$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка .$

Решение. Данная функция определена при всех действительных значениях x. Возьмем производную этой функции:

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 2x в кубе минус 6x в квадрате плюс 5 правая круглая скобка '= минус 6x в квадрате минус 12x.$

При $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ получим:

$минус 6x в квадрате минус 12x=0 равносильно x в квадрате плюс 2x=0 равносильно x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =0 совокупность выражений x=0,x= минус 2. конец совокупности .$ $минус 6x в квадрате минус 12x=0 равносильно x в квадрате плюс 2x=0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =0 совокупность выражений x=0,x= минус 2. конец совокупности .$ $минус 6x в квадрате минус 12x=0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2x=0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =0 совокупность выражений x=0,x= минус 2. конец совокупности .$

На данном промежутке функция имеет только один экстремум в точке $x=0.$ Найдем наименьшее и наибольшее значения функции:

$f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = минус 2 умножить на 0 в кубе минус 6 умножить на 0 в квадрате плюс 5=5;$

$f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 2 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в кубе минус 6 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 5=1;$

$f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = минус 2 умножить на 1 в кубе минус 6 умножить на 1 в квадрате плюс 5= минус 3.$

Таким образом, наименьшее значение функции равно −3 в точке $x=1$ и наибольшее значение равно 5 в точке $x=0.$

Ответ: $f левая круглая скобка x правая круглая скобка _min=f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = минус 3;$ $f левая круглая скобка x правая круглая скобка _max=f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =5.$

1137

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка _min=f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = минус 3;$ $f левая круглая скобка x правая круглая скобка _max=f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =5.$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1127	$f левая круглая скобка x правая круглая скобка _min=f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =0;$ $f левая круглая скобка x правая круглая скобка _max=f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =32.$
2	1137	$f левая круглая скобка x правая круглая скобка _min=f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = минус 3;$ $f левая круглая скобка x правая круглая скобка _max=f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =5.$