РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Варианты заданий

1.  Задание № 1366 Добавить в вариант

Задания на 7 баллов

Из точки А к плоскости а проведены наклонные АВ и АС, длины которых относятся как 5 : 6. Найдите расстояние от точки А до плоскости α, если проекции наклонных на эту плоскость равны 4 и $3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ см.

Решение.

Проведем AH перпендикулярно плоскости $альфа .$ Пусть AB  =  5x, а AC  =  6x. Причем, HC > BH, так как большей проекции соответствует большая наклонная, поэтому $HC=3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , BH=4.$ Найдём AH по теореме Пифагора, так как треугольники ABH и ACH прямоугольные, $AH в квадрате =AB в квадрате минус BH в квадрате =AC в квадрате минус CH в квадрате ,$ то есть:

$левая круглая скобка 5x правая круглая скобка в квадрате минус 4 в квадрате = левая круглая скобка 6x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате равносильно 25x в квадрате минус 16 минус 36x в квадрате минус 27=0 равносильно 11x в квадрате =11 равносильно x=\pm 1.$ $левая круглая скобка 5x правая круглая скобка в квадрате минус 4 в квадрате = левая круглая скобка 6x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 25x в квадрате минус 16 минус 36x в квадрате минус 27=0 равносильно 11x в квадрате =11 равносильно x=\pm 1.$ $левая круглая скобка 5x правая круглая скобка в квадрате минус 4 в квадрате = левая круглая скобка 6x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 25x в квадрате минус 16 минус 36x в квадрате минус 27=0 равносильно$
$равносильно 11x в квадрате =11 равносильно x=\pm 1.$

По смыслу задачи x отрицательным быть не может, поэтому он равен 1. Тогда AB  =  5x  =  5 · 1  =  5. По теореме Пифагора найдём катет треугольника ABH: $AH$ ²  =  25 − 16  =  9, тогда AH  =  3.

Ответ: 3.

1366

2.  Задание № 1376 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 2.5. Расстояние от точки до плоскости

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Задания на 7 баллов

Из точки A к плоскости к плоскости $альфа$ проведены наклонные AB и AC, длины которых относятся 10 см и $8 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см.$ Найдите расстояние от точки A до плоскости $альфа ,$ если проекции наклонных на эту плоскость относятся как 3 : 4.

Решение. Отрезок AH перпендикулярен плоскости α. Так как длина отрезка AC больше длины отрезка AB, а большей наклонной соответствует большая проекция, то длина отрезка HC больше длины отрезка BH. Пусть длина HC равна 4x см, а длина BH равна 3x см. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH: $AB в квадрате минус BH в квадрате = AH в квадрате .$ По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ACH: $AC в квадрате минус CH в квадрате = AH в квадрате .$ Тогда:

$AB в квадрате минус BH в квадрате = AC в квадрате минус CH в квадрате равносильно 10 в квадрате минус левая круглая скобка 3x правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 8 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 4x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 100 минус 9x в квадрате = 128 минус 16x в квадрате равносильно 7x в квадрате = 28 равносильно x в квадрате = 4 \undersetx больше 0\mathop равносильно x = 2.$ $AB в квадрате минус BH в квадрате = AC в квадрате минус CH в квадрате равносильно 10 в квадрате минус левая круглая скобка 3x правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 8 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 4x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 100 минус 9x в квадрате = 128 минус 16x в квадрате равносильно$
$равносильно 7x в квадрате = 28 равносильно x в квадрате = 4 \undersetx больше 0\mathop равносильно x = 2.$ $AB в квадрате минус BH в квадрате = AC в квадрате минус CH в квадрате равносильно$
$равносильно 10 в квадрате минус левая круглая скобка 3x правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 8 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 4x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 100 минус 9x в квадрате = 128 минус 16x в квадрате равносильно$
$равносильно 7x в квадрате = 28 равносильно x в квадрате = 4 \undersetx больше 0\mathop равносильно x = 2.$

Тогда длина BH равна 6 см. По теореме Пифагора в треугольнике ABH:

$AH в квадрате = AB в квадрате минус BH в квадрате равносильно AH = корень из: начало аргумента: AB в квадрате минус BH в квадрате конец аргумента равносильно AH = корень из: начало аргумента: 100 минус 36 конец аргумента равносильно AH = корень из: начало аргумента: 64 конец аргумента равносильно AH = 8 см.$ $AH в квадрате = AB в квадрате минус BH в квадрате равносильно AH = корень из: начало аргумента: AB в квадрате минус BH в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно AH = корень из: начало аргумента: 100 минус 36 конец аргумента равносильно AH = корень из: начало аргумента: 64 конец аргумента равносильно AH = 8 см.$

Ответ: 8 см.

1376

8 см.

Классификатор алгебры: 2.5. Расстояние от точки до плоскости

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1366	3
2	1376	8 см.