РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Варианты заданий

1.  Задание № 1389 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.2. Правильная треугольная пирамида, 5.3. Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой

Методы алгебры: Теорема Пифагора, Теорема Фалеса, Теорема косинусов

Задания на 10 баллов

Дана правильная треугольная пирамида PABC, у которой боковое ребро равно 7, ребро основания  — 6; точка M  — середина ребра PC. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки A и M параллельно ребру PB и найдите длину наибольшей стороны этого сечения.

Решение. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник ABC, боковые ребра пирамиды равны между собой. Проведем отрезки AM и MK, прямые MK и SB параллельны. Применив теорему Фалеса, получаем, что BK  =  KC. Прямые SB и MK параллельны, прямая MK лежит в плоскости AMK, тогда прямая SB параллельна плоскости AMK. Треугольник AMK является искомым сечением. Треугольник ABC  — равносторонний, длина его стороны равна 6. Проведем медиану AK, она является биссектрисой и высотой. Так как BC  =  6, BK  =  3. Применим теорему Пифагора в треугольнике ABK:

$AB в квадрате = AK в квадрате плюс BK в квадрате равносильно AK = корень из: начало аргумента: AB в квадрате минус BK в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно AK = корень из: начало аргумента: 6 в квадрате минус 3 в квадрате конец аргумента равносильно AK = 3 корень из 3 .$ $AB в квадрате = AK в квадрате плюс BK в квадрате равносильно$
$равносильно AK = корень из: начало аргумента: AB в квадрате минус BK в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно AK = корень из: начало аргумента: 6 в квадрате минус 3 в квадрате конец аргумента равносильно AK = 3 корень из 3 .$ $AB в квадрате = AK в квадрате плюс BK в квадрате равносильно$
$равносильно AK = корень из: начало аргумента: AB в квадрате минус BK в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно AK = корень из: начало аргумента: 6 в квадрате минус 3 в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно AK = 3 корень из 3 .$

Треугольники SCB и MKC подобны, коэффициент подобия равен 2, $MK = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SB = 3,5.$ Применим теорему косинусов в треугольнике ASC:

$AC в квадрате = AS в квадрате плюс SC в квадрате минус 2 умножить на AS умножить на SC умножить на косинус \angle ASC равносильно$
$равносильно косинус \angle ASC = дробь: числитель: AS в квадрате плюс SC в квадрате минус AC в квадрате , знаменатель: 2 умножить на AS умножить на SC конец дроби равносильно косинус \angleASC = дробь: числитель: 31, знаменатель: 49 конец дроби .$ $AC в квадрате = AS в квадрате плюс SC в квадрате минус 2 умножить на AS умножить на SC умножить на косинус \angle ASC равносильно$
$равносильно косинус \angle ASC = дробь: числитель: AS в квадрате плюс SC в квадрате минус AC в квадрате , знаменатель: 2 умножить на AS умножить на SC конец дроби равносильно$
$равносильно косинус \angleASC = дробь: числитель: 31, знаменатель: 49 конец дроби .$

Применим теорему косинусов в треугольнике ASM:

$AM в квадрате = AS в квадрате плюс SM в квадрате минус 2 умножить на AS умножить на SM\cdpt косинус \angle ASM равносильно$
$равносильно AM в квадрате = 7 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на 7 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 31, знаменатель: 49 конец дроби равносильно$
$равносильно AM в квадрате = дробь: числитель: 121, знаменатель: 4 конец дроби равносильно AM = 5,5.$

Таким образом, известны длины всех сторон треугольника AMK: AM  =  5,5, MK  =  3,5, $AK = 3 корень из 3 .$ Наибольшей стороной является сторона AM, ее длина равна 5,5.

Ответ: 5,5.

1389

5,5.

Методы алгебры: Теорема Пифагора, Теорема Фалеса, Теорема косинусов

2.  Задание № 1399 Добавить в вариант

Методы алгебры: Теорема Пифагора, Теорема Фалеса, Теорема косинусов

Задания на 10 баллов

Дана правильная треугольная пирамида PABC, у которой боковое ребро равно 14, ребро основания  — 8; точка M  — середина ребра PB. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки A и M параллельно ребру PC и найдите длину наименьшей стороны этого сечения.

Решение. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник ABC, боковые ребра пирамиды равны между собой. Проведем отрезки AM и MK, прямые MK и SC параллельны. Применив теорему Фалеса, получаем, что BK  =  KC. Прямые SC и MK параллельны, прямая MK лежит в плоскости AMK, тогда прямая SC параллельна плоскости AMK. Треугольник AMK является искомым сечением. Треугольник ABC  — равносторонний, длина его стороны равна 8. Проведем медиану AK, она является биссектрисой и высотой. Так как BC  =  8, BK  =  4. Применим теорему Пифагора в треугольнике ABK:

$AB в квадрате = AK в квадрате плюс BK в квадрате равносильно AK = корень из: начало аргумента: AB в квадрате минус BK в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно AK = корень из: начало аргумента: 8 в квадрате минус 4 в квадрате конец аргумента равносильно AK = 4 корень из 3 .$ $AB в квадрате = AK в квадрате плюс BK в квадрате равносильно$
$равносильно AK = корень из: начало аргумента: AB в квадрате минус BK в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно AK = корень из: начало аргумента: 8 в квадрате минус 4 в квадрате конец аргумента равносильно AK = 4 корень из 3 .$ $AB в квадрате = AK в квадрате плюс BK в квадрате равносильно$
$равносильно AK = корень из: начало аргумента: AB в квадрате минус BK в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно AK = корень из: начало аргумента: 8 в квадрате минус 4 в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно AK = 4 корень из 3 .$

Треугольники SCB и BMK подобны, коэффициент подобия равен 2, тогда $MK = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SC = 7.$ Применим теорему косинусов в треугольнике ABS:

$AB в квадрате = AS в квадрате плюс SB в квадрате минус 2 умножить на AS умножить на SB умножить на косинус \angle ASB равносильно$
$равносильно косинус \angle ASB = дробь: числитель: AS в квадрате плюс SB в квадрате минус AB в квадрате , знаменатель: 2 умножить на AS умножить на SB конец дроби равносильно косинус \angleASB = дробь: числитель: 41, знаменатель: 49 конец дроби .$ $AB в квадрате = AS в квадрате плюс SB в квадрате минус 2 умножить на AS умножить на SB умножить на косинус \angle ASB равносильно$
$равносильно косинус \angle ASB = дробь: числитель: AS в квадрате плюс SB в квадрате минус AB в квадрате , знаменатель: 2 умножить на AS умножить на SB конец дроби равносильно$
$равносильно косинус \angleASB = дробь: числитель: 41, знаменатель: 49 конец дроби .$

Применим теорему косинусов в треугольнике ASM:

$AM в квадрате = AS в квадрате плюс SM в квадрате минус 2 умножить на AS умножить на SM\cdpt косинус \angle ASM равносильно$
$равносильно AM в квадрате = 14 в квадрате плюс 7 в квадрате минус 2 умножить на 14 умножить на 7 умножить на дробь: числитель: 41, знаменатель: 49 конец дроби равносильно$
$равносильно AM в квадрате = 81 равносильно AM = 9.$

Таким образом, известны длины всех сторон треугольника AMK: AM  =  9, MK  =  7, $AK = 4 корень из 3 .$ Наименьшей стороной является сторона AK, ее длина равна $4 корень из 3 .$

Ответ: $4 корень из 3 .$

1399

$4 корень из 3 .$

Методы алгебры: Теорема Пифагора, Теорема Фалеса, Теорема косинусов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1389	5,5.
2	1399	$4 корень из 3 .$