РЕШУ ЦТ — математика–11Б

Варианты заданий

1.  Задание № 30 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 1.3. Угол между плоскостями, 3.6. Неправильные пирамиды, 4.1. Площадь поверхности многогранников

Задания на 10 баллов

Основание пирамиды MABCD  — ромб ABCD c диагоналями BD  =  6, AC  =  8. Все боковые грани пирамиды образуют с основанием угол, синус которого равен $дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби .$ Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение. Так как боковые грани пирамиды равнонаклонены к основанию, точка H, являющаяся основанием высоты пирамиды, является и центром вписанной окружности, то есть центром пересечения диагоналей ромба ABCD.

Проведём HK перпендикулярно к DC, тогда MK перпендикулярно к CD. Значит, угол MKH является линейным углом двугранного угла между гранью MCD и основанием пирамиды, тогда $синус \angle MKH = дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби .$

Рассмотрим ромб ABCD. Так как AC  =  8, BD  =  6, то:

$S_ABCD= дробь: числитель: AC умножить на BD, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 8 умножить на 6, знаменатель: 2 конец дроби = 24.$

По свойству ромба угол AHD равен 90°, а AH  =  4, HD  =  3, тогда по теореме Пифагора AD  =  5. По формуле $S=p умножить на r:$

$r = дробь: числитель: S, знаменатель: p конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 10 конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби ,$

то есть $HK= дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби .$

В прямоугольном треугольнике HMK отрезок $HK= дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби$ и $синус \angle MKH = дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби ,$ то есть $дробь: числитель: MH, знаменатель: MK конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби .$

Пусть MH  =  5x, MK  =  13x, тогда по теореме Пифагора:

$левая круглая скобка 13x правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 5x правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате равносильно x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ,$

значит, $MK= дробь: числитель: 13, знаменатель: 5 конец дроби .$ Имеем:

$S_MCD= дробь: числитель: MK умножить на CD, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби умножить на 5, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 13, знаменатель: 2 конец дроби .$

Так как боковые грани пирамиды  — равновеликие треугольники, то

$S_Б. П.=4 умножить на S_MCD = 4 умножить на дробь: числитель: 13, знаменатель: 2 конец дроби = 26.$

Ответ: 26.

26.

Методы алгебры: Теорема Пифагора

2.  Задание № 859 Добавить в вариант

Задания на 10 баллов

Основание пирамиды PABCD  — ромб ABCD с диагоналями BD  =  12 и CA  =  16. Все боковые грани пирамиды образуют с основанием острый угол, синус которого равен $дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .$ Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Проведём HK перпендикулярно к DC, тогда PK перпендикулярно к CD. Значит, угол PKH является линейным углом двугранного угла между гранью PCD и основанием пирамиды, тогда $синус \angle PKH = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .$

Рассмотрим ромб ABCD. Так как AC  =  16, BD  =  12, то:

$S_ABCD= дробь: числитель: AC умножить на BD, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 16 умножить на 12, знаменатель: 2 конец дроби = 96.$

По свойству ромба угол AHD равен 90°, а AH  =  8, HD  =  6, тогда по теореме Пифагора AD  =  10. По формуле $S=p умножить на r:$

$r = дробь: числитель: S, знаменатель: p конец дроби = дробь: числитель: 96, знаменатель: 20 конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби ,$

то есть $HK= дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби .$

В прямоугольном треугольнике HPK отрезок $HK= дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби$ и $синус \angle PKH = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ,$ то есть $дробь: числитель: PH, знаменатель: PK конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .$

Пусть PH  =  4x, PK  =  5x, тогда по теореме Пифагора:

$левая круглая скобка 5x правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 4x правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате равносильно x = дробь: числитель: 8, знаменатель: 5 конец дроби ,$

значит, $PK=8.$ Имеем:

$S_PCD= дробь: числитель: PK умножить на CD, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 8 умножить на 10, знаменатель: 2 конец дроби = 40.$

Так как боковые грани пирамиды  — равновеликие треугольники, то

$S_Б. П.=4 умножить на S_PCD = 4 умножить на 40 = 160.$

Ответ: 160.

859

160.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	30	26.
2	859	160.