Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 1068
i

На по­верх­но­сти шара с цен­тром в точке O вы­бра­ны точки A, B и C так, что у пи­ра­ми­ды OABC все ребра равны. Най­ди­те объем шара, если точка O уда­ле­на от плос­ко­сти ABC на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Се­че­ни­ем шара плос­ко­стью ABC яв­ля­ет­ся круг с цен­тром O1. Пи­ра­ми­да OABC  — пра­виль­ная пи­ра­ми­да. Точка O1  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC. От­ре­зок OO1  — вы­со­та пи­ра­ми­ды OABC. Пусть ребро пи­ра­ми­ды равно a, тогда ра­ди­ус AO1 равен AO_1= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AO1O по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем:

OA в квад­ра­те =AO_1 в квад­ра­те плюс OO_1 в квад­ра­те рав­но­силь­но a в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но a в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 6 рав­но­силь­но a=3.

Сле­до­ва­тель­но, ра­ди­ус шара R=OA=3. Таким об­ра­зом, объем шара равен

V_шара= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи R в кубе = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи 3 в кубе =36 Пи .

Ответ: 36 Пи .

Классификатор алгебры: 3.19. Шар, 3.20. Вза­им­ное рас­по­ло­же­ние шара и плос­ко­сти, 4.4. Объёмы круг­лых тел
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025