Высота прямого параллелепипеда равна 6, а его диагонали составляют с плоскостью основания углы 45° и 30°. Угол между диагоналями основания параллелепипеда равен 30°. Найдите объем параллелепипеда.
Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм ABCD, его диагонали пересекаются в точке O. В прямоугольном треугольнике AA1C угол ACA1 равен 30°. Высотой параллелепипеда является ребро AA1, следовательно, его длина равна 6. Катет AA1 лежит напротив угла ACA1, равного 30°, следовательно, длина AA1 равна половине длины гипотенузы A1C, тогда A1C = 12. По теореме Пифагора:
В прямоугольном треугольнике BB1D угол B1DB равен 45°, следовательно, треугольник является равнобедренным, длины отрезков BB1 и BD равны 6. Найдем площадь треугольника AOB:
По свойствам параллелограмма, диагонали разбивают его на четыре треугольника, имеющих равную площадь. Тогда Найдем объем параллелепипеда:
Ответ: