Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 1179
i

Вы­со­та пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6, а его диа­го­на­ли со­став­ля­ют с плос­ко­стью ос­но­ва­ния углы 45° и 30°. Угол между диа­го­на­ля­ми ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 30°. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грамм ABCD, его диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA1C угол ACA1 равен 30°. Вы­со­той па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся ребро AA1, сле­до­ва­тель­но, его длина равна 6. Катет AA1 лежит на­про­тив угла ACA1, рав­но­го 30°, сле­до­ва­тель­но, длина AA1 равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы A1C, тогда A1C  =  12. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

AA_1 в квад­ра­те плюс AC в квад­ра­те = A_1C в квад­ра­те рав­но­силь­но 6 в квад­ра­те плюс AC в квад­ра­те = 12 в квад­ра­те рав­но­силь­но AC в квад­ра­те = 108 рав­но­силь­но AC = 6 ко­рень из 3 .

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BB1D угол B1DB равен 45°, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, длины от­рез­ков BB1 и BD равны 6. Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка AOB:

S_AOB = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AO умно­жить на OB умно­жить на синус \angleAOB = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AC умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BD умно­жить на синус 30 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 16 умно­жить на 6 ко­рень из 3 умно­жить на 6 = дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

По свой­ствам па­рал­ле­ло­грам­ма, диа­го­на­ли раз­би­ва­ют его на че­ты­ре тре­уголь­ни­ка, име­ю­щих рав­ную пло­щадь. Тогда S_ABCD = 4S_AOB = 9 ко­рень из 3 . Най­дем объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

V = S_осн умно­жить на h = 9 ко­рень из 3 умно­жить на 6 = 54 ко­рень из 3 .

Ответ: 54 ко­рень из 3 .


Аналоги к заданию № 1169: 1179 Все

Классификатор алгебры: 3.13. Про­чие пря­мые приз­мы, 4.2. Объем мно­го­гран­ни­ка
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра