РЕШУ ЦТ

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание № 1209 Добавить в вариант

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, учитывая, что его диагональ равна $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и составляет с одной боковой гранью угол, равный 30°, а с другой  — 45°.

Спрятать решение

Решение.

Ребро B₁C₁ прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно плоскости DD₁C₁C, ребро A₁B₁ перпендикулярно плоскости AA₁D₁D, угол B₁DC₁ является углом между прямой DB₁ и плоскостью DD₁C₁C, его градусная мера равна 30°, а угол A₁DB₁ является углом между прямой DB₁ и плоскостью AA₁D₁D, его градусная мера равна 45°. Треугольник B₁C₁D  — прямоугольный, угол B₁DC₁ равен 30°, следовательно, длина катета B₁C₁, лежащего напротив угла, градусная мера которого равна 30°, равна половине длины гипотенузы B₁D, то есть $корень из 3 .$ По теореме Пифагора:

$DC_1 в квадрате плюс B_1C_1 в квадрате = B_1D в квадрате равносильно DC_1 в квадрате плюс левая круглая скобка корень из 3 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2 корень из 3 правая круглая скобка в квадрате равносильно DC_1 в квадрате = 9 равносильно DC_1 = 3.$ $DC_1 в квадрате плюс B_1C_1 в квадрате = B_1D в квадрате равносильно DC_1 в квадрате плюс левая круглая скобка корень из 3 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2 корень из 3 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно DC_1 в квадрате = 9 равносильно DC_1 = 3.$

В прямоугольном треугольнике B₁A₁D градусная мера угла A₁DB₁ равна 45°, следовательно, треугольник является равнобедренным, A₁B₁  =  A₁D. По теореме Пифагора:

$A_1B_1 в квадрате плюс A_1D в квадрате = B_1D в квадрате равносильно 2A_1B_1 в квадрате = B_1D в квадрате равносильно 2A_1B_1 в квадрате = 12 равносильно A_1B_1 в квадрате = 6 равносильно A_1B_1 = корень из 6 .$ $A_1B_1 в квадрате плюс A_1D в квадрате = B_1D в квадрате равносильно 2A_1B_1 в квадрате = B_1D в квадрате равносильно$
$равносильно 2A_1B_1 в квадрате = 12 равносильно A_1B_1 в квадрате = 6 равносильно A_1B_1 = корень из 6 .$

Ребра A₁B₁, AB и DC прямоугольного параллелепипеда равны. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике DC₁C:

$DC в квадрате плюс CC_1 в квадрате = DC_1 в квадрате равносильно CC_1 в квадрате = 3 равносильно CC_1 = корень из 3 .$

Найдем объем прямоугольного параллелепипеда:

$V = DC умножить на B_1C_1 умножить на CC_1 = корень из 6 умножить на корень из 3 умножить на корень из 3 = 3 корень из 6 .$

Ответ: $3 корень из 6 .$

Аналоги к заданию № 1209: 1219 Все

Классификатор алгебры: 3.9. Прямоугольный параллелепипед, 4.2. Объем многогранника

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Спрятать решение · Помощь