РЕШУ ЦТ

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание № 218 Добавить в вариант

Решите уравнение: $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 0,5x в квадрате правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x=1.$

Спрятать решение

Решение.

Представим правую часть уравнения в виде логарифма по основанию 2, не забудем об ОДЗ:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 0,5x в квадрате правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x=1 равносильно система выражений левая круглая скобка логарифм по основанию 2 0,5 плюс логарифм по основанию 2 x в квадрате правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x= логарифм по основанию 2 2,0,5x в квадрате \geqslant0,x\geqslant0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 x минус 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x=1,x\geqslant0. конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 0,5x в квадрате правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x=1 равносильно система выражений левая круглая скобка логарифм по основанию 2 0,5 плюс логарифм по основанию 2 x в квадрате правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x= логарифм по основанию 2 2,0,5x в квадрате \geqslant0,x\geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 x минус 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x=1,x\geqslant0. конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 0,5x в квадрате правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x=1 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка логарифм по основанию 2 0,5 плюс логарифм по основанию 2 x в квадрате правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x= логарифм по основанию 2 2,0,5x в квадрате \geqslant0,x\geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 x минус 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x=1,x\geqslant0. конец системы .$

Введём замену. Пусть $t= логарифм по основанию 2 x.$ Тогда:

$левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка t=1 равносильно 2t в квадрате минус t минус 1=0 равносильно совокупность выражений t=1,t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

$совокупность выражений логарифм по основанию 2 x=1, логарифм по основанию 2 x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=0,x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка 0; дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 5.1. Уравнения первой и второй степени относительно логарифмических функций

Методы алгебры: Введение замены

Спрятать решение · Помощь