Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 270
i

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 10 см. Рас­сто­я­ние от сто­ро­ны ос­но­ва­ния до про­ти­во­ле­жа­щей бо­ко­вой грани равно 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, у неё в ос­но­ва­нии лежит квад­рат ABCD. Вы­со­та SO па­да­ет в центр ABCD. Про­ведём апо­фе­мы SM и SK. По­лу­чи­лось, MK  =  CB  =  10 см. В тре­уголь­ни­ке MSK вы­со­та MN  — рас­сто­я­ние от сто­ро­ны ос­но­ва­ния до про­ти­во­ле­жа­щей бо­ко­вой грани, она равна 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Найдём синус угла MKS:

 

синус \angle MKS = дробь: чис­ли­тель: MN, зна­ме­на­тель: MK конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Зна­чит, угол MKS равен 60°. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOK при­мем SO за x. По­сколь­ку катет KO лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, он равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SOK имеем:

 

SK в квад­ра­те = SO в квад­ра­те плюс KO в квад­ра­те рав­но­силь­но 10 в квад­ра­те = x в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те \undersetSO боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но x=5 ко­рень из 3 .

 

Таким об­ра­зом, SO = 5 ко­рень из 3 см. Пло­щадь S ос­но­ва­ния равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, то есть 100 см2. Найдём объём V пи­ра­ми­ды SABCD:

 

V = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на SO умно­жить на S = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 5 ко­рень из 3 умно­жить на 100 = дробь: чис­ли­тель: 500 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби см в кубе .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 500 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби см в кубе .

Классификатор алгебры: 3.3. Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да, 4.2. Объем мно­го­гран­ни­ка
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024