В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине 90° и большей стороной 8 см, все двугранные углы при ребрах основания равны по 30°. Найдите высоту и площадь полной поверхности пирамиды.
Введём обозначения (см. рис.). Заметим, что, так как боковые стороны наклонены к основанию под одним углом, высота пирамиды будет падать в центр вписанной окружности. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны x, тогда по теореме Пифагора 
Площадь треугольника равна половине произведения его катетов, либо произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр, в нашем случае
В прямоугольном треугольнике DOK катет DO, являющийся высотой пирамиды, равен произведению катета OK, равного радиусу вписанной окружности, на тангенс угла при боковой стороне пирамиды, то есть 
Гипотенуза DK — апофема пирамиды — равна частному от деления OK на косинус угла при боковой стороне, то есть 
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания, где площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему. Имеем
Ответ: 
