В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 5, 5 и 8 см, все боковые грани наклонены к ее основанию под углом 45°. Найдите высоту пирамиды и площадь ее боковой поверхности.
Введём обозначения (см. рис.). Заметим, что, так как боковые стороны наклонены к основанию под одним углом, высота пирамиды будет падать в центр вписанной окружности. Площадь треугольника равна либо произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр, либо, по формуле Герона, 
где p — полупериметр, в нашем случае
Прямоугольный треугольник SOK равнобедренный, так как один из его углов равен 45°, тогда катеты OK и SO, являющиеся высотой пирамиды и радиусом вписанной окружности, равны. Гипотенуза SK — апофема пирамиды — равна частному от деления OK на косинус угла при боковой стороне, то есть 
Площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему. Имеем
Ответ: 
