Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 50
i

Верх­нее ос­но­ва­ние R1S1T1 пря­мой тре­уголь­ной приз­мы RSTR1S1T1 яв­ля­ет­ся пра­виль­ным тре­уголь­ни­ком, пло­щадь ко­то­ро­го равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Через пря­мую RS про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость со­став­ля­ю­щая с ос­но­ва­ни­ем угол, рав­ный арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около по­лу­чив­ше­го­ся в се­че­нии тре­уголь­ни­ка.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Так как в ос­но­ва­нии приз­мы рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник с из­вест­ной пло­ща­дью, най­дем сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка, вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой пло­ща­ди рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка: S= дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . От­сю­да a=2.

Те­перь най­дем вы­со­ту TM(см.рис) по фор­му­ле h= дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , от­ку­да h= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

 

В тре­уголь­ни­ке TMK: TM= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; \angle TMK = арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , так как \angle TMK  —

угол между ос­но­ва­ни­ем и плос­ко­стьюKSR. Зна­чит:

синус \angle TMK= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; ко­си­нус \angle TKM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , тогда:

KM= дробь: чис­ли­тель: TM, зна­ме­на­тель: ко­си­нус \angle TMK конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец дроби =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

В тре­уголь­ни­ке RMK по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем KR:

KR =KM в квад­ра­те плюс RM в квад­ра­те =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс 1=7. Тогда синус \angle KRM= дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Тре­уголь­ник KRS рав­но­бед­рен­ный (KR=KS), тогда KS=KR=7.

Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка по фор­му­ле

2R= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: синус альфа конец дроби : R= дробь: чис­ли­тель: KS, зна­ме­на­тель: 2 синус \angle KRS конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 49 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 49 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби .

Классификатор алгебры: 1.3. Угол между плос­ко­стя­ми, 3.10. Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, 5.6. Се­че­ние  — тре­уголь­ник
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра, Тео­ре­ма си­ну­сов
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024