Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 60
i

Длина вы­со­ты ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Через пря­мую AB про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, со­став­ля­ю­щая с ос­но­ва­ни­ем угол, рав­ный арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Най­ди­те вы­со­ту тре­уголь­ни­ка, по­лу­чив­ше­го­ся в се­че­нии, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны А.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зуя фор­му­лу вы­со­ты ос­но­ва­ния, най­дем сто­ро­ну ос­но­ва­ния:

h= дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но a= дробь: чис­ли­тель: 2h, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но a=2. (см.рис.)

Так как CM= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , а \angle CMK = арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби (так как это угол между ос­но­ва­ни­ем и пло­ко­стью AKB). Тогда синус \angle CMK = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , а также ко­си­нус \angle CMK= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Зная это, най­дем KM:

KM= дробь: чис­ли­тель: CM, зна­ме­на­тель: ко­си­нус \angle CMK конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

В тре­уголь­ни­ке BMK по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем KB:

KB в квад­ра­те =KM в квад­ра­те плюс BM в квад­ра­те рав­но­силь­но KB в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 1 в квад­ра­те рав­но­силь­но KB= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

По­сколь­ку

S_AKB= дробь: чис­ли­тель: KM умно­жить на AB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: KB умно­жить на h_ альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

где h_ альфа   — вы­со­та тре­уголь­ни­ка AKB, про­ве­ден­ная из A. Тогда:

h_ альфа = дробь: чис­ли­тель: KM умно­жить на AB, зна­ме­на­тель: KB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 19 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 19 конец дроби .

Классификатор алгебры: 1.3. Угол между плос­ко­стя­ми, 3.10. Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, 5.6. Се­че­ние  — тре­уголь­ник
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024