Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­са­на сфера, центр ко­то­рой делит вы­со­ту пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 5:3, счи­тая от вер­ши­ны. Най­ди­те пло­щадь сферы, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 18.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Так как O  — центр впи­сан­ной сферы, OM  — бис­сек­три­са угла PMH. Рас­смот­рим тре­уголь­ник PMH:

HM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 18=9,

По тео­ре­ме о бис­сек­три­се тре­уголь­ни­ка

дробь: чис­ли­тель: PO, зна­ме­на­тель: OH конец дроби = дробь: чис­ли­тель: PM, зна­ме­на­тель: MH конец дроби рав­но­силь­но PM=MH умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =9 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =15.

Тогда PH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 в квад­ра­те минус 9 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 225 минус 81 конец ар­гу­мен­та =12. Ра­ди­ус сферы, рав­ный OH, дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби PH= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на 12= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Пло­щадь сферы  — это 4 Пи r в квад­ра­те , сле­до­ва­тель­но, пло­щадь дан­ной сферы равен

S=4 Пи левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 4 Пи умно­жить на 81, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =81 Пи .

Ответ: 81 Пи .

Классификатор алгебры: 3.3. Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да, 3.19. Шар, 3.24. Ком­би­на­ции мно­го­гран­ни­ков и круг­лых тел, 4.3. Пло­щадь по­верх­но­сти круг­лых тел
Методы алгебры: Свой­ства бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024