Ре­ше­ние.

Осе­вое се­че­ние усе­чен­но­го ко­ну­са   — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция AA₁B₁B, в ко­то­рой ос­но­ва­ния яв­ля­ют­ся диа­мет­ра­ми ос­но­ва­ний ко­ну­са, Точки O и O₁  — се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но.

По­сколь­ку пло­щадь верх­не­го ос­но­ва­ния ко­ну­са в 9 раз мень­ше пло­ща­ди ниж­не­го, имеем:

Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции AA₁B₁B. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки AKB и B₁KA₁ по­доб­ны по двум углам. Из по­до­бия сле­ду­ет, что

По­сколь­ку (в рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции диа­го­на­ли равны), то и Зна­чит, тре­уголь­ни­ки AKB и B₁KA₁  — рав­но­бед­рен­ные пря­мо­уголь­ные. От­ре­зок OO₁  — вы­со­та тра­пе­ции и вы­со­та усе­чен­но­го ко­ну­са. Этот от­ре­зок будет про­хо­дить через точку K, по­сколь­ку точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей рав­но­уда­ле­на от бо­ко­вых сто­рон. Тре­уголь­ни­ки KO₁B₁ и KOB  — рав­но­бед­рен­ные пря­мо­уголь­ные, зна­чит, и Сле­до­ва­тель­но, по­лу­сум­ма ос­но­ва­ния дан­ной тра­пе­ции равна ее вы­со­те. Вы­ра­зим пло­щадь се­че­ния:

По усло­вию зна­чит, Най­дем ра­ди­у­сы ос­но­ва­ний усе­чен­но­го ко­ну­са:

По­сколь­ку имеем:

зна­чит,

Таким об­ра­зом, объем ко­ну­са равен

Ответ: 36π.