Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 90
i

Вы­со­та пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна 6 см и со­став­ля­ет угол 60° с плос­ко­стью бо­ко­вой грани. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Квад­рат ABCD  — ос­но­ва­ние пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, SM  — апо­фе­ма. Угол OSM равен 60°, от­ре­зок OM равен по­ло­ви­не сто­ро­ны квад­ра­та. Най­дем его длину: OM = OS умно­жить на тан­генс 60 гра­ду­сов = 6 ко­рень из 3 . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SOM:

 

SM = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SO в квад­ра­те плюс OM в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 144 конец ар­гу­мен­та = 12.

 

Длина сто­ро­ны квад­ра­та равна удво­ен­ной длине от­рез­ка OM, то есть 12 ко­рень из 3 . Бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды яв­ля­ют­ся рав­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми. Най­дем пло­щадь од­но­го из них:

 

S_DSC = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на SM умно­жить на DC = 72 ко­рень из 3 .

 

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна сумме пло­ща­дей всех гра­ней, то есть 4 умно­жить на 72 ко­рень из 3 = 288 ко­рень из 3 . Най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния: S_ABCD = левая круг­лая скоб­ка 12 ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 432. Таким об­ра­зом, можем найти пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти приз­мы:

 

S_полн = S_осн плюс S_бок = 432 плюс 288 ко­рень из 3 .

 

Ответ: 432 плюс 288 ко­рень из 3 .

Классификатор алгебры: 3.3. Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да, 4.1. Пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ков
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024