Так как ра­ди­ус ос­но­ва­ния по усло­вию равен 3, а об­ра­зу­ю­щая  — 5, то такой ци­линдр может быть по­лу­чен вра­ще­ни­ем во­круг одной из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка, ко­то­рый изоб­ражён на ри­сун­ке б).

Ответ: б).

Так как ра­ди­ус ос­но­ва­ния по усло­вию равен 2, а об­ра­зу­ю­щая  — 6, то такой ци­линдр может быть по­лу­чен вра­ще­ни­ем во­круг одной из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка, ко­то­рый изоб­ражён на ри­сун­ке г).

Ответ: г).

По­лу­чен­ное тело вра­ще­ния  — два ко­ну­са, со­еди­нен­ных ос­но­ва­ни­ем и име­ю­щих общий ра­ди­ус AO. Их вы­со­та­ми яв­ля­ют­ся от­рез­ки PO и OC. Ги­по­те­ну­за PC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна 3. Най­дем вы­со­ту AO: Объем этого тела равен:

Ответ:

По­лу­чен­ное тело вра­ще­ния  — два ко­ну­са, со­еди­нен­ных ос­но­ва­ни­ем и име­ю­щих общий ра­ди­ус AO. Их вы­со­та­ми яв­ля­ют­ся от­рез­ки PO и OC. Ги­по­те­ну­за PC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна 4. Най­дем вы­со­ту AO:

Объем этого тела:

Ответ:

За­ме­тим, что при вра­ще­нии пря­мо­уголь­ник будет об­ра­зо­вы­вать ци­линдр с вы­со­той 2 и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния Тогда объём фи­гу­ры можно найти, умно­жив пло­щадь ос­но­ва­ния, вы­чис­ля­е­мую по фор­му­ле на вы­со­ту:

Ответ: 36.

За­ме­тим, что при вра­ще­нии пря­мо­уголь­ник будет об­ра­зо­вы­вать ци­линдр с вы­со­той 4 и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния Тогда объём фи­гу­ры можно найти, умно­жив пло­щадь ос­но­ва­ния, вы­чис­ля­е­мую по фор­му­ле на вы­со­ту:

Ответ: 8.

Так как тела вра­ще­ния  — объёмные тела, воз­ни­ка­ю­щие при вра­ще­нии плос­кой гео­мет­ри­че­ской фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной кри­вой, во­круг оси, ле­жа­щей в той же плос­ко­сти, оче­вид­но, что из дан­но­го спис­ка го­дят­ся толь­ко шар, конус, ци­линдр, усе­чен­ный конус.

Ответ: Шар, конус, ци­линдр, усе­чен­ный конус.

В ре­зуль­та­те вра­ще­ния тре­уголь­ни­ка ABC во­круг сред­ней сто­ро­ны об­ра­зу­ет­ся два ко­ну­са с общим ос­но­ва­ни­ем V = V₁ + V₂. Тогда общий объем на­хо­дит­ся по фор­му­ле:

По фор­му­ле Ге­ро­на имеем:

Най­дем вы­со­ту AH из фор­му­лы пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка:

Тогда объем равен:

Ответ: см³.

Объем по­лу­чен­но­го тела вра­ще­ния равен сумме объ­е­ма ко­ну­са с ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния AH и вы­со­той BH и объ­е­ма ко­ну­са с тем же ос­но­ва­ни­ем и вы­со­той HC. Тогда общий объем на­хо­дит­ся по фор­му­ле:

По фор­му­ле Ге­ро­на имеем:

Тогда:

Зная, что BC ра­ди­ус, можем найти объем:

Ответ: см³.

В ре­зуль­та­те вра­ще­ния во­круг боль­ше­го ка­те­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по­лу­ча­ет­ся конус. Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). По­сколь­ку в тре­уголь­ни­ке про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на, то От­ре­зок CO  — вы­со­та ко­ну­са, от­ре­зок OB  — ра­ди­ус. Зная угол, най­дем OC и OB:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са:

Ответ:

В ре­зуль­та­те вра­ще­ния во­круг боль­ше­го ка­те­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по­лу­ча­ет­ся конус. Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). По­сколь­ку в тре­уголь­ни­ке про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на, то От­ре­зок CO  — вы­со­та ко­ну­са, от­ре­зок OB  — ра­ди­ус. Зная угол, най­дем OC и OB:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са:

Ответ:

По­лу­чен­ной фи­гу­рой вра­ще­ния яв­ля­ет­ся ци­линдр, его ра­ди­ус равен сто­ро­не BC пря­мо­уголь­ни­ка и равен а вы­со­та равна сто­ро­не CD пря­мо­уголь­ни­ка и равна 1 см. Най­дем объем ци­лин­дра:

Ответ: 17 см³.

По­лу­чен­ной фи­гу­рой вра­ще­ния яв­ля­ет­ся ци­линдр, его ра­ди­ус равен сто­ро­не BC пря­мо­уголь­ни­ка и равен а вы­со­та равна сто­ро­не CD пря­мо­уголь­ни­ка и равна 1 см. Най­дем объем ци­лин­дра:

Ответ: 2 см³.