Ре­ше­ние. Так как   — это ре­ше­ние урав­не­ния пер­вое ра­вен­ство верно. Число a в сте­пе­ни −1 равно по­это­му вто­рое ра­вен­ство не­вер­но. Тре­тье ра­вен­ство верно, зна­че­ния си­ну­сов  — таб­лич­ные дан­ные. Четвёртое ра­вен­ство не­вер­но в виду от­сут­ствия ско­бок, то есть в квад­рат воз­во­дит­ся число 3, а после этого его знак ме­ня­ет­ся на про­ти­во­по­лож­ный.

Ответ: а), в).

Ре­ше­ние. Решим по пунк­там:

    а) Точка M при­над­ле­жит пря­мым PC и AM, за­да­ю­щим плос­ко­сти APC, BPC и AMB;

    б) Точка A при­над­ле­жит пря­мым AC, AB, AM и AP;

    в) Пря­мая, по ко­то­рой пе­ре­се­ка­ют­ся плос­ко­сти ABM и APC задаёт мно­же­ство общих точек плос­ко­стей, в нашем слу­чае это пря­мая AM.

Ответ: а) APC, BPC, AMB; б) AC, AB, AM, AP; в) AM.

Ре­ше­ние. При­ведём обе части к од­но­му чис­ло­во­му ос­но­ва­нию

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Пред­ста­вим все числа в виде ос­но­ва­ний 2 и 3 в раз­лич­ных сте­пе­нях, ис­поль­зуя а затем вы­чис­лим

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что дан­ный угол лежит во вто­рой чет­вер­ти, а зна­чит, его синус по­ло­жи­те­лен. Вы­чис­лим синус угла по ос­нов­но­му три­го­но­мет­ри­че­ско­му тож­де­ству, чтобы потом раз­де­лить его на ко­си­нус для на­хож­де­ния тан­ген­са:

Ответ:

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть x равен рас­сто­я­нию от цен­тра шара до мно­же­ства точек его плос­ко­сти. Се­че­ние шара яв­ля­ет­ся кру­гом, пло­щадь ко­то­ро­го равна тогда в нашем слу­чае ра­ди­ус се­че­ния равен По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке OO₁A по­лу­ча­ем

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Воз­ведём обе части урав­не­ния в квад­рат, чтобы из­ба­вить­ся от ир­ра­ци­о­наль­но­сти, не забыв при этом про усло­вие на не­от­ри­ца­тель­ность под­кор­не­во­го одной из ча­стей:

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зуя свой­ства ло­га­риф­мов и по­лу­ча­ем

По­лу­чен­ное урав­не­ние яв­ля­ет­ся квад­рат­ным от­но­си­тель­но ло­га­риф­ма. За­ме­тим, что раз­ность ко­эф­фи­ци­ен­тов равна 0, а зна­чит, один из кор­ней равен −1, а дру­гой, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, равен от­но­ше­нию −c к a, в нашем слу­чае  — Тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Для на­хож­де­ние абс­цис­сы точки пе­ре­се­че­ния, при­рав­ня­ем пра­вые части функ­ций, а затем решим по­лу­чен­ное урав­не­ние, ис­поль­зуя свой­ство ло­га­риф­ма :

Под­ста­вим абс­цис­су в урав­не­ние одной из функ­ций, чтобы найти ор­ди­на­ту, мо­дуль ко­то­рой яв­ля­ет­ся ис­ко­мым рас­сто­я­ни­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Про­ведём вы­со­ту CN. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ACN в нашем слу­чае, AN  =  AD − (AD − BC) : 2, то есть

Те­перь по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка CND найдём бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции, ко­то­рая, так как бо­ко­вые грани приз­мы яв­ля­ют­ся квад­ра­та­ми, будет равна вы­со­те приз­мы:

Пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы равна сумме пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти и пло­ща­дей ос­но­ва­ний. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти можно найти, умно­жив вы­со­ту на пе­ри­метр ос­но­ва­ния, тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти равна

Объём приз­мы равен про­из­ве­де­нию вы­со­ты на пло­щадь ос­но­ва­ния, в нашем слу­чае

Ответ: 788, 1404.