Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся свой­ства­ми сте­пе­ней с на­ту­раль­ны­ми по­ка­за­те­ля­ми: Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой б).

Ответ: б).

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим че­ты­рех­уголь­ник AA₁CC₁:

а)  AA₁||CC₁ и AA₁  =  CC₁ как па­рал­лель­ные ребра куба ABCDA₁B₁C₁D₁

б)  A₁C₁||AC и A₁C₁  =  AC как диа­го­на­ли рав­ных гра­ней куба ABCDA₁B₁C₁D₁

в)  Так как ABCDA₁B₁C₁D₁  — куб, то ABCD  — квад­рат, AC  — его диа­го­наль. Диа­го­наль квад­ра­та не может быть равна его сто­ро­не, а зна­чит, AC AA₁.

Тогда че­ты­рех­уголь­ник AA₁CC₁ яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. Зна­чит, вер­ный ответ ука­зан под бук­вой в).

Ответ: в).

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся свой­ства­ми ло­га­риф­мов:

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. По­лу­чим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Вы­не­сем общий мно­жи­тель за скоб­ки, со­кра­тим обе части не­ра­вен­ства на 4 и решим по­лу­чен­ное не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. Так как дан­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то тре­уголь­ник ABC  — пра­виль­ный, а бо­ко­вые грани  — рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки.

Так как точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, то AM  — ме­ди­а­на и вы­со­та по свой­ству рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков. Зна­чит, пря­мая AM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC. Ана­ло­гич­но, пря­мая PM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC. Таким об­ра­зом,   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми (ABC) и (PBC), так как пря­мая AM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC, пря­мая PM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC, Со­глас­но усло­вию,

Най­дем длину HM:

Най­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды:

По­сколь­ку имеем:

Ответ: 18 см³.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем обе части урав­не­ния в чет­вер­тую сте­пень, учи­ты­вая об­ласть до­пу­сти­мых зна­че­ний пра­вой части урав­не­ния, и решим по­лу­чен­ное урав­не­ние:

Ответ: {1}.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние, ис­поль­зуя фор­му­лы при­ве­де­ния и тан­ген­са суммы углов:

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Най­дем сна­ча­ла наи­боль­шее зна­че­ние y из си­сте­мы

Это си­сте­ма Виета для урав­не­ния

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние y  =  4. Решим для a  =  4 дан­ное не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пря­мо­уголь­ни­ки ABCD и CMDN  — се­че­ния ци­лин­дра плос­ко­стя­ми, про­хо­дя­щи­ми через об­ра­зу­ю­щую CD. Пря­мые BC и CM лежат в плос­ко­сти верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра, а CD  — пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра. Зна­чит, Так как плос­ко­сти се­че­ний пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между ними. Зна­чит,

Так как пря­мо­уголь­ни­ки ABCD и CMDN равны по усло­вию и имеют общую сто­ро­ну CD, то BC  =  CM. Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник BCM, верх­нее ос­но­ва­ние ци­лин­дра опи­са­но во­круг этого тре­уголь­ни­ка, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Зная, что най­дем пло­щадь осе­во­го се­че­ния:

Ответ: 6 см².