Ре­ше­ние.

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мой па­рал­ле­ле­пи­пед. Ис­ко­мое се­че­ние  — че­ты­рех­уголь­ник AB₁C₁D. Про­ве­дем в ромбе ABCD вы­со­ту BK. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­ре­зок B₁K пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой AD. Угол B₁KB яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми AB₁D и ABD.

Най­дем пло­щадь ромба ABCD:

По­сколь­ку в ромбе диа­го­на­ли де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, то AO  =  12 и OD  =  5. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем AD:

Через фор­му­лу пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма вы­ра­зим вы­со­ту BK:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KB₁B на­хо­дим

Таким об­ра­зом, объем пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равен

Зна­че­ние вы­ра­же­ния равно

Ответ: 14 400.

Ре­ше­ние.

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мой па­рал­ле­ле­пи­пед. Ис­ко­мое се­че­ние  — че­ты­рех­уголь­ник AB₁C₁D. Про­ве­дем в ромбе ABCD вы­со­ту BK. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­ре­зок B₁K пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой AD. Угол B₁KB яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми AB₁D и ABD. Най­дем пло­щадь ромба ABCD:

По­сколь­ку в ромбе диа­го­на­ли де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, то AO  =  4 и OD  =  3. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем AD:

Через фор­му­лу пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма вы­ра­зим вы­со­ту BK:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KB₁B на­хо­дим

Таким об­ра­зом, объем пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равен

Зна­че­ние вы­ра­же­ния равно

Ответ: 1728.