РЕШУ ЦТ

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание № 1359 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 1.6. Угол между плоскостями, 3.3. Правильная четырёхугольная пирамида

Методы алгебры: Теорема Пифагора, Теорема косинусов

Задания на 10 баллов

Найдите величину двугранного угла при боковом ребре правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания $2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента$ и боковым ребром, равным 10.

Решение.

В основании пирамиды лежит квадрат ABCD, длина его стороны равна $2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$ Найдем длину диагонали квадрата. Применим теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ABD:

$AB в квадрате плюс AD в квадрате = BD в квадрате равносильно 2AB в квадрате = BD в квадрате равносильно 2 умножить на левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате = BD в квадрате равносильно BD = корень из: начало аргумента: 80 конец аргумента равносильно BD = 4 корень из 5 .$ $AB в квадрате плюс AD в квадрате = BD в квадрате равносильно 2AB в квадрате = BD в квадрате равносильно$
$равносильно 2 умножить на левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате = BD в квадрате равносильно BD = корень из: начало аргумента: 80 конец аргумента равносильно BD = 4 корень из 5 .$ $AB в квадрате плюс AD в квадрате = BD в квадрате равносильно 2AB в квадрате = BD в квадрате равносильно$
$равносильно 2 умножить на левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате = BD в квадрате равносильно$
$равносильно BD = корень из: начало аргумента: 80 конец аргумента равносильно BD = 4 корень из 5 .$

Построим линейный угол двугранного угла при ребре SC. Проведем высоту DK в равнобедренном треугольнике DSC. Треугольники DCK и BCK равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, отрезки BK и KD равны, а углы BKC и DKC являются прямыми. Тогда угол BKD  — линейный угол двугранного угла при боковом ребре пирамиды. Проведем высоту SH в треугольнике DSC, по свойству равнобедренного треугольника она является медианой, отсюда $HC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DC = корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$ По теореме Пифагора в треугольнике SHC:

$SC в квадрате = HC в квадрате плюс SH в квадрате равносильно SH = корень из: начало аргумента: SC в квадрате минус HC в квадрате конец аргумента равносильно SH = корень из: начало аргумента: 100 минус 10 конец аргумента равносильно SH = корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента равносильно SH = 3 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$ $SC в квадрате = HC в квадрате плюс SH в квадрате равносильно SH = корень из: начало аргумента: SC в квадрате минус HC в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно SH = корень из: начало аргумента: 100 минус 10 конец аргумента равносильно SH = корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента равносильно SH = 3 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$ $SC в квадрате = HC в квадрате плюс SH в квадрате равносильно SH = корень из: начало аргумента: SC в квадрате минус HC в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно SH = корень из: начало аргумента: 100 минус 10 конец аргумента равносильно$
$равносильно SH = корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента равносильно SH = 3 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Площадь треугольника DSC равна половине произведения длин DC и SH, а также половине произведения длин SC и DK, тогда $DC умножить на SH = SC умножить на DK.$ Имеем:

$DC умножить на SH = SC умножить на DK равносильно 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента умножить на 3 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента = 10 умножить на DK равносильно DK = 6.$

Воспользуемся теоремой косинусов и найдем угол BKD:

$BD в квадрате = BK в квадрате плюс DK в квадрате минус 2 умножить на BK умножить на DK умножить на косинус \angleBKD равносильно косинус \angleBKD = дробь: числитель: BK в квадрате плюс DK в квадрате минус BD в квадрате , знаменатель: 2 умножить на BK умножить на DK конец дроби равносильно$
$равносильно косинус \angleBKD = дробь: числитель: 36 плюс 36 минус 80, знаменатель: 2 умножить на 6 умножить на 6 конец дроби равносильно косинус \angleBKD = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби равносильно \angleBKD = арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка .$ $BD в квадрате = BK в квадрате плюс DK в квадрате минус 2 умножить на BK умножить на DK умножить на косинус \angleBKD равносильно$
$равносильно косинус \angleBKD = дробь: числитель: BK в квадрате плюс DK в квадрате минус BD в квадрате , знаменатель: 2 умножить на BK умножить на DK конец дроби равносильно косинус \angleBKD = дробь: числитель: 36 плюс 36 минус 80, знаменатель: 2 умножить на 6 умножить на 6 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус \angleBKD = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби равносильно \angleBKD = арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка .$ $BD в квадрате = BK в квадрате плюс DK в квадрате минус 2 умножить на BK умножить на DK умножить на косинус \angleBKD равносильно$
$равносильно косинус \angleBKD = дробь: числитель: BK в квадрате плюс DK в квадрате минус BD в квадрате , знаменатель: 2 умножить на BK умножить на DK конец дроби равносильно$
$равносильно косинус \angleBKD = дробь: числитель: 36 плюс 36 минус 80, знаменатель: 2 умножить на 6 умножить на 6 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус \angleBKD = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби равносильно \angleBKD = арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: $арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 1349: 1359 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе